《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

10. 如图,AB是$\odot O$的弦,点C,D在AB上,且$AC= BD$,连接OC,OD. 求证:$OC= OD$.

答案：
证明:连接OA,OB,
∵OA=OB,
∴∠B=∠A. 又
∵AC=BD,OA=OB,
∴△AOC ≌△BOD,
∴OD=OC.
　　

11. 【教材P80例1变式】下列各组图形中,四个顶点一定在同一圆上的是 (B)
A.矩形,菱形
B.矩形,正方形
C.菱形,正方形
D.平行四边形,菱形

答案： B

12. 如图,矩形PAOB的顶点P在$\overset{\frown }{MN}$上,且不与M,N重合.顶点A,B分别在线段OM,ON上.当P点在$\overset{\frown }{MN}$上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则$PA^{2}+PB^{2}$的值 (C)
A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.不能确定

答案： C

13. (1) 如图,CD是$\odot O$的直径,点A在DC的延长线上,AE交$\odot O$于B,E,且$AB= OC$,若$∠DOE= 72^{\circ }$,求$∠A$的度数.

(2) 【T13(1)变式】如图,OA,OB是$\odot O$的半径,C是$\odot O$上一点,$∠OBC= 56^{\circ },∠ACB= 20^{\circ }$,则$∠OAC= $____.

答案：

(1)解:连接OB,
∵点B,E在⊙O上,CD为直径,
∴OB=OE=OC. 又
∵AB=OC,
∴OB=AB=OE.
∴∠A=∠AOB,∠E=∠EBO. 又
∵∠EBO=∠A+∠AOB,
∴∠EBO=∠E=2∠A. 又
∵∠DOE=∠A+∠E,
∴∠DOE=∠A+2∠A=72°,
∴∠A=24°.
　　
(2)36°

14. 【教材P81练习T3变式】如图,已知BD,CE是$\triangle ABC$的高,试证明:B,C,D,E四点在同一圆上.

答案：
证明:取BC的中点O,连接EO,DO,
∵BD,CE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∵O是Rt△BDC和Rt△BEC斜边BC的中点.
∴EO=$\frac{1}{2}$BC=BO=CO,DO=$\frac{1}{2}$BC=BO=CO.
∴EO=DO=BO=CO.
∴点B,C,D,E四点在以点O为圆心，$\frac{1}{2}$BC长为半径的圆上.
　　

15. 如图,正方形ABCD在半圆O内部,顶点A,B在圆上,C,D在直径上.
(1) OD____OC(填“＞”“＜”或“=”)；
(2) 在正方形ABCD右侧再作一个小正方形ECGF,点F在圆周上.若正方形ABCD的边长为4,求正方形ECGF的边长.

答案：

(1)=
(2)解:
∵BC=4,OC=2,
∴OB=$2\sqrt{5}$,连接OA,OB,OF,设正方形ECGF的边长为x，则GF=x=CG,
∴OG=OC+CG=2+x. 在Rt△OGF中,$x^{2}+(x+2)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$,解得$x_{1}=-4$(舍去),$x_{2}=2$,
∴正方形ECGF的边长为2.