《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

5. (2024·甘孜州)如图,AB 为$\odot O$的弦,C 为$\overset{\frown }{AB}$的中点,过点 C 作$CD// AB$,交 OB 的延长线于点 D. 连接 OA,OC. 求证:CD 是$\odot O$的切线.

答案： 证明:设 OC交AB于点E,
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴∠AOC=∠BOC.又
∵OA=OB,
∴OC⊥AB,即∠OEB=90°.
∵CD//AB,
∴∠OCD=∠OEB=90°,即 OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.

6. (2025·宜昌模拟)如图,四边形 ABCD 中,$∠DAB= ∠ABC= 90^{\circ }$,点 O 是 AB 的中点,$∠COD= 90^{\circ }$,以 AB 为直径作半圆$\odot O$. 求证:CD 是$\odot O$的切线.

答案： 证明:延长DO交CB的延长线于点E,过点O作OF⊥CD,垂足为F,
∵点O是AB 的中点，
∴AO=BO.又
∵∠DAO=∠CBO=∠EBO=90°,∠AOD=∠BOE,
∴△ADO≌△BEO.
∴DO=EO.又
∵∠DOC=90°,
∴∠EOC=180°−∠DOC=90°=∠DOC.又
∵OC=OC,
∴△DOC≌△EOC.
∴∠DCO=∠ECO,即OC平分∠DCB.又
∵OF⊥CD,OB⊥CB,
∴OF=OB=r.又
∵OF⊥DC,
∴DC是⊙O的切线.

7. 如图,点 C 在以 AB 为直径的$\odot O$上,延长 AB 到点 E,连接 CE,过点 A 作$AD⊥CE$,交 EC 的延长线于点 D,交$\odot O$于点 F,连接 BC,CF,若$∠DCF= \frac {1}{2}∠DAB$.
(1)求证:DE 是$\odot O$的切线;
(2)若$BC= 5,DF= 3$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明:连接 OC,AC,BF,BF交CO于H.
∵AB是直径,AD⊥CD,
∴∠D=∠AFB=90°.
∴BF//CD.
∴∠1=∠2.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB,
∴∠3=∠2=∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB.
∴∠3=∠5.又
∵OA=OC,
∴∠4=∠3=∠5.
∴OC//AD.
∴∠AOC=18∠D=90°.即 OC⊥DE.又
∵OC是半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)由
(1)知∠D=∠DCO=∠DFH=90°,
∴四边形DCHF是矩形.
∴DF=CH=3,∠CHF=90°.
∴在Rt△BCH中,BH=$\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.设⊙O的半径为r,则OH=r - 3.在Rt△OBH中,OH²+BH²=BO²,
∴(r - 3)²+4²=r².解得r=$\frac{25}{6}$.