《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. (2024·连云港)已知抛物线 $ y = ax ^ { 2 } + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ a ＜ 0 $)的顶点为 $ ( 1, 2 ) $。小烨同学得出以下结论：① $ abc ＜ 0 $；②当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；③若 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的一个根为 $ 3 $,则 $ a = - \frac { 1 } { 2 } $；④抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 2 $ 是由抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 向左平移 $ 1 $ 个单位,再向下平移 $ 2 $ 个单位得到的。其中一定正确的是(B)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④

答案： B

2. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为 $ 60 $ 米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长 $ 40 $ 米,则可围成的菜园的最大面积是450平方米。

答案： 450

3. 【新中考·跨物理学科】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑,于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离。

【知识背景】“道路千万条,安全第一条。”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障,由于惯性的作用,行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止,这段距离称为刹车距离。
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车,现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时,对它的刹车性能进行测试。兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
| 刹车后行驶的时间 | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ |
| 刹车后行驶的距离 $ y $ | $ 0 $ | $ 27 $ | $ 48 $ | $ 63 $ |
发现：①开始刹车后行驶的距离 $ y $(单位：$ m $)与刹车后行驶的时间 $ t $(单位：$ s $)之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间 $ t $ 的增大而增大,当刹车后行驶的距离最远时,汽车完全停止。
【问题解决】请根据以上信息,完成下列问题：
(1)则 $ y $ 关于 $ t $ 的函数解析式是______y=-3t²+30t；
(2)若汽车刹车 $ 4 s $ 后,行驶了______72 m的距离；
(3)若汽车司机发现正前方 $ 80 m $ 处有一辆抛锚的车停在路面,立刻刹车,问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由。
不会.理由如下:
∵y=-3t²+30t=-3(t-5)²+75,
∴当t=5时,汽车停下,行驶了75 m,
∵75＜80,
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车.

答案：
(1)y=-3t²+30t
(2)72 m 解:
(3)不会.理由如下:
∵y=-3t²+30t=-3(t-5)²+75,
∴当t=5时,汽车停下,行驶了75 m,
∵75＜80,
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车.