《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

01 基础练
知识点一 抛物线与$x$轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系
1. (1)一元二次方程$x^{2}+6x+5= 0$的两根是$x₁ = -1，x₂ = -5$,则二次函数$y= x^{2}+6x+5$的图象与$x$轴的交点坐标是$(-1,0)，(-5,0)$.
(2)【T1(1)变式·逆向思维】二次函数$y= x^{2}+bx+c$的图象如图所示,则关于$x$的方程$x^{2}+bx+c= 0$的解是$x₁ = -1，x₂ = 4$.

答案： 1.
(1)x₁ = -1，x₂ = -5，(-1,0)，(-5,0)；
(2)x₁ = -1，x₂ = 4

2. (教材P47习题T1改编) 一材多题
二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示.
(1)方程$ax^{2}+bx+c= 5$的根是x₁ = -2，x₂ = 4；
(2)方程$ax^{2}+bx+c= -4$的根是x₁ = x₂ = 1；
(3)方程$ax^{2}+bx+c= -5$的根的情况是无实数根.

答案： 2.
(1)x₁ = -2，x₂ = 4；
(2)x₁ = x₂ = 1；
(3)无实数根

知识点二 抛物线与$x$轴公共点的个数与对应的一元二次方程根的判别式之间的关系
3. (教材P44“思考”改编) 一题多变
(1)【判断抛物线与$x$轴公共点的个数】
抛物线$y= x^{2}-2x-3与x$轴的交点有2个.
(2)【已知抛物线与$x$轴公共点的个数,求参数的值或取值范围】
①已知抛物线$y= x^{2}-6x+m与x$轴有且只有一个交点,则$m$的值是9.
②【变式1】若抛物线$y= x^{2}-2x+m与x$轴没有交点,则$m$的取值范围是m＞1.
③【变式2】抛物线$y= x^{2}-4x+3k与x$轴有交点,则$k$的取值范围是k≤$\frac{4}{3}$.

答案： 3.
(1)2；
(2)①9；②m＞1；③k≤$\frac{4}{3}$

4. 抛物线$y= (k-1)x^{2}-x+1与x$轴有交点,则$k$的取值范围是k≤$\frac{5}{4}$且k≠1.

答案： 4. k≤$\frac{5}{4}$且k≠1

5. 若函数$y= mx^{2}+2x+1的图象与x$轴只有一个公共点,则常数$m$的值是 (C)
A.1
B.0
C.1或0
D.2
【点拨】由于函数类型不明确,应分类讨论：①二次函数；②一次函数.

答案： 5. C

6. 根据下列表格的对应值,判断方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一个解的范围是 (C)
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$

答案： 6. C