《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【背景】相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,比如,他们研究过$1,3,6,10…$,由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示,他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
【素材】如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有$1$个点,第二行有$2$个点,…$$,第$n行有n$个点.

问题$1$:第一行有$1$个点,前两行点数和是____,前三行点数和是____,前四行的点数和是____,前$8$行的点数之和为____,前$15$行的点数之和为____;
问题$2$:(1)前$n$行的点数之和为____;
(2)若该三角点阵前$n行的点数和为325$,求$n$的值;
(3)三角点阵图中,前$n行的点数和能是900$吗?如果能,求出$n$;如果不能,说明理由.
问题$3$:如果将图中的三角点阵中各行的点数依次换为$2,4,6,8… 2n$,这个三角点阵前$n行的点数和能是200$吗?如果能,求出$n$的值;如果不能,说明理由.
问题$4$:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用$420$盆同样规格的花,按照第一排$2$盆,第二排$4$盆,第三排$6$盆,…$$,第$n排2n$盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
问题$5$:如果把三角点阵中各行的点数依次换为$3,6,9,… ,3n$,前$n行的点数和能是900$吗?如果能,求出$n$;如果不能,说明理由.

答案： 3 6 10 36 120
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(1)$\frac{n(n+1)}{2}$ 解:
(2)由题意,得$\frac{n(n+1)}{2}=325$.即$n^{2}+n-650=0$.解得$n_{1}=25$,$n_{2}=-26$(舍去).$\therefore$n的值为25;
(3)不能,理由如下:由题意,得$\frac{n(n+1)}{2}=900$.得$n^{2}+n-1800=0$.$\therefore n=\frac{-1\pm \sqrt{7201}}{2}$.$\because$n为正整数,$\sqrt{7201}$是无理数,$\therefore$不存在n值,使前n行的点数和是900.即在三角点阵图中,前n行的点数和不能是900.
@@解:这个三角点阵前n行的点数和不能是200.由题意,得$2+4+6+\cdots +2n=2× (1+2+3+\cdots +n)=200$.即$2× \frac{n(n+1)}{2}=200$.解得$n=\frac{-1\pm 3\sqrt{89}}{2}$.又n为正整数,$\therefore$不存在n值,使前n行的点数和是200.答:这个三角点阵前n行的点数和不能是200.
@@解:前n排盆景的总数可表示为$2+4+6+8+\cdots +2n=2× (1+2+3+\cdots +n)=420$.即$2× \frac{n(n+1)}{2}=420$.$\therefore n^{2}+n=420$.解得$n_{1}=-21$,$n_{2}=20$.$\because$n为正整数,$\therefore n=20$.答:共能摆20排.
@@解:能,理由如下:由$3+6+9+\cdots +3n=900$得$3(1+2+3+\cdots +n)=900$.即$1+2+3+\cdots +n=300$.$\frac{n(n+1)}{2}=300$.解得$n_{1}=24$,$n_{2}=-25$(负值舍去).$\therefore$当$n=24$时,前n行の点数之和为900.