《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

11. 如图所示的抛物线的解析式是y=-x²+2x + 3.

答案： y=-x²+2x + 3

12. 若二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的x与y的部分对应值如下表:
(1)观察上表可求得m的值是-3;
(2)求这个函数的解析式;
由表可知此二次函数的顶点为(-3,5)，设其解析式是y = a(x + 3)²+5，把点(-2,3)代入，得3 = a(-2 + 3)²+5。解得a = -2。
∴y = -2(x + 3)²+5。
(3)若点$A(n+2,y_{1}),B(n,y_{1})$在该抛物线上,n的值是-4.

答案：
(1) -3
(2)由表可知此二次函数的顶点为(-3,5)，设其解析式是y = a(x + 3)²+5，把点(-2,3)代入，得3 = a(-2 + 3)²+5。解得a = -2。
∴y = -2(x + 3)²+5。
(3) -4

13. 已知二次函数$y= x^{2}-2mx+m^{2}-1$.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点$O(0,0)$时,则二次函数的解析式是$y=x²+2x$或$y=x²-2x$;
(2)如图,当$m= 2$时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C,D两点的坐标;
当m = 2时，二次函数解析式为y=x²-4x + 3=(x - 2)²-1，
∴C(0,3)，顶点坐标为D(2,-1)
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得$PC+PD$最短? 若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.
存在。连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC + PD最短，设经过C，D两点的直线解析式为y = kx + b(k≠0)，则将C(0,3)，D(2,-1)两点坐标代入解析式，得$\begin{cases}3 = b, \\-1 = 2k + b, \end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2, \\b = 3. \end{cases}$
∴y = -2x + 3。令y = 0，可得-2x + 3 = 0，解得x = $\dfrac{3}{2}$，
∴当P点坐标为($\dfrac{3}{2}$,0)时，PC + PD最短

答案：
(1)y=x²+2x或y=x²-2x
(2)当m = 2时，二次函数解析式为y=x²-4x + 3=(x - 2)²-1，
∴C(0,3)，顶点坐标为D(2,-1)；
(3)存在。连接CD，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC + PD最短，设经过C，D两点的直线解析式为y = kx + b(k≠0)，则将C(0,3)，D(2,-1)两点坐标代入解析式，得$\begin{cases}3 = b, \\-1 = 2k + b, \end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2, \\b = 3. \end{cases}$
∴y = -2x + 3。令y = 0，可得-2x + 3 = 0，解得x = $\dfrac{3}{2}$，
∴当P点坐标为($\dfrac{3}{2}$,0)时，PC + PD最短。

14. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$与x轴交于点$A(-5,0),B(-1,0)$,与y轴交于点$C(0,-5)$,点P是x轴上方抛物线上的动点,连接PA,PC.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)若点P的坐标为$(-2,3)$,请求出此时$\triangle APC$的面积.

答案： 解：
(1)由题意，设抛物线的解析式为y = a(x + 5)(x + 1)，把C(0,-5)代入，得5a = -5。解得a = -1。
∴抛物线的解析式为y=-(x + 5)(x + 1)=-x²-6x - 5；
(2)过点P作PQ//y轴交AC于Q，设直线AC为y = kx + m，把A(-5,0)，C(0,-5)代入，得$\begin{cases}-5k + m = 0, \\m = -5. \end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\m = -5. \end{cases}$
∴y = -x - 5。当x = -2时，y = -x - 5=-3。
∵PQ//y轴，P(-2,3)，
∴Q(-2,-3)。
∴PQ = 3-(-3)=6。
∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=$\dfrac{1}{2}$PQ·(xC-xA)=$\dfrac{1}{2}$×6×(0 + 5)=15。