《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. (原创题)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)的图象经过原点和点A(4,0)$.经过点 A 的直线与该二次函数图象交于点$B(1,3)$,与 y 轴交于点 C.
(1)求二次函数的解析式及点 C 的坐标;

(2)若点 P 是二次函数图象上的一个动点,当点 P 在直线 AB 上方时,过点 P 作$PE⊥x$轴于点 E,与直线 AB 交于点 D,设点 P 的横坐标为 m,m 为何值时线段 PD 的长度最大,并求出最大值;
(3)若点 Q 是直线 AB 上方抛物线上的一点,$QM// x$轴交直线 AB 于点 M,当 QM 最大时,求点 Q 的坐标及 QM 的最大值;

(4)若点 P 是二次函数图象上的一个动点,当点 P 在直线 AB 上方时,过点 P 作$PE⊥AB$于点 E,设点 P 的横坐标为 m,m 为何值时线段 PE 的长度最大,并求出最大值.

答案：
1.解:
(1)
∵二次函数经过O(0,0),A(4,0),B(1,3),
∴将三点坐标代入解析式，得$\begin{cases}0 = c \\ 0 = 16a + 4b + c \\ 3 = a + b + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 4 \\ c = 0\end{cases}$，
∴二次函数的解析式为$y = -x^{2} + 4x$。
∵直线经过A,B两点，设直线AB解析式为$y = kx + n$，
∴将A，B两点坐标代入，得$\begin{cases}0 = 4k + n \\ 3 = k + n\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ n = 4\end{cases}$，
∴直线AB解析式为$y = -x + 4$。
∵点C是直线与y轴交点，
∴令$x = 0$，则$y = 4$。
∴$C(0,4)$。
(2)解：
∵点P在直线AB上方，
∴$1\leq m\leq4$。由题知$P(m,-m^{2} + 4m)$，$D(m,-m + 4)$，
∴$PD = y_{P} - y_{D} = -m^{2} + 4m + m - 4 = -m^{2} + 5m - 4 = -(m - 2.5)^{2} + 2.25$。
∵$-1\lt0$，
∴当$m = 2.5$时，$PD$有最大值，最大值是$2.25$。
(3)解:设$Q(m,-m^{2} + 4m)$，由
(1)知直线AB的解析式是$y = -x + 4$，设$M(x,-x + 4)$。
∵$QM// x$轴，
∴$-x + 4 = -m^{2} + 4m$，解得$x = m^{2} - 4m + 4$。
∴$M(m^{2} - 4m + 4,-m^{2} + 4m)$。
∴$QM = m - (m^{2} - 4m + 4) = -m^{2} + 5m - 4(1\lt m\lt4)$。
∵$-1\lt0$，开口向下，
∴当$m = \frac{5}{2}$时，$QM$最大，最大值是$\frac{9}{4}$，此时点$Q$的坐标是$(\frac{5}{2},\frac{15}{4})$。

(4)解:过点P作$PG// y$轴交AB于G，设$P(m,-m^{2} + 4m)$，则$G(m,-m + 4)$，$PG = -m^{2} + 4m - (-m + 4) = -m^{2} + 5m - 4(1\lt m\lt4)$。
∵$OC = OA = 4$，
∴$∠OAC = ∠OCA = 45^{\circ}$。
∵$PG// y$轴，
∴$∠OCA = ∠PGE = 45^{\circ}$，
∴$PE = \frac{\sqrt{2}}{2}PG = \frac{\sqrt{2}}{2}(-m^{2} + 5m - 4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}m^{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}m - 2\sqrt{2}$。
∵$a = -\frac{\sqrt{2}}{2}\lt0$，开口向下，
∴当$m = \frac{5}{2}$时，$PE$有最大值，最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}$。