《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

7. (2025·大庆模拟)在平面直角坐标系中,将二次函数$y = x^{2}+2x + 1$的图象向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(C)
A.$y = (x + 4)^{2}+2$
B.$y = (x - 2)^{2}+2$
C.$y = (x - 2)^{2}-2$
D.$y = (x + 4)^{2}-2$

答案： C

8. 当$x\geq2$时,二次函数$y = -x^{2}+2x + m$有最大值4,则$m$的值是(C)
A.1
B.2
C.4
D.6

答案： C

9. 二次函数$y = ax^{2}+2ax + c$的图象如图所示,下列说法不正确的是(D)
A.$a ＞ 0$,$c ＜ 0$
B.对称轴为直线$x = -1$
C.当$x ＜ -2$时,$y随x$的增大而减小
D.图象与$x轴的另一个交点是(2,0)$

答案： D

10. 抛物线$y = ax^{2}-2ax + c(a ＞ 0)$经过点A(-2,y₁),B(-1,y₂),C(5,y₃)三点,则$y₁$,$y₂$,$y₃$的大小关系是y₃ ＞ y₁ ＞ y₂。

答案： y₃ ＞ y₁ ＞ y₂

11. 若抛物线$y = -x^{2}+bx + 4经过点(-2,n)和(4,n)$两点,则$n$的值是-4。

答案： -4

12. 如图,二次函数$y = x^{2}+ax + 3的图象经过点P(-2,3)$。
(1)求$a$的值和图象的顶点坐标；
(2)点$Q(m,n)$在该二次函数图象上。
①当$m = 2$时,求$n$的值；
②若点$Q到y$轴的距离小于2,请根据图象直接写出$n$的取值范围。

答案： 解:
(1)把P(-2,3)代入y=x² + ax + 3,得3=(-2)² - 2a + 3.解得a = 2.
∵y=x² + 2x + 3=(x + 1)² + 2,
∴顶点坐标为(-1,2).
(2)①把x = 2代入y=x² + 2x + 3,得y = 11,
∴当m = 2时,n = 11.②由题意,知 - 2 ＜ m ＜ 2,此时2 ≤ n ＜ 11.

13. 如图,直线$y = \frac{1}{2}x + 1与x$轴、$y轴分别交于点B$,$A$,抛物线$y = ax^{2}-2ax + c经过点A$。
(1)求点$A$,$B的坐标及c$的值；
(2)若函数$y = ax^{2}-2ax + c在3\leq x\leq4时有最大值为a + 2$,求$a$的值。

答案： 解:
(1)令x = 0,则y=$\frac{1}{2}$x + 1 = 1,
∴A(0,1).令y=$\frac{1}{2}$x + 1 = 0,则x = - 2.
∴B(-2,0).把点A(0,1)代入y=ax² - 2ax + c中,得c = 1;
(2)y=ax² - 2ax + 1=a(x - 1)² + 1 - a,
∴对称轴为直线x = 1.①若a ＞ 0,根据x ＞ 1时,y随x增大而增大,
∴x = 4时,有最大值a + 2.即9a + 1 - a=a + 2,解得a=$\frac{1}{7}$;②若a ＜ 0,根据x ＞ 1时,y随x增大而减小,
∴x = 3时,有最大值a + 2.即4a + 1 - a=a + 2,解得a=$\frac{1}{2}$(舍去).综上所述,a的值为$\frac{1}{7}$.