《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

12. (2024·甘肃)如图$1$为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图$2是棚顶的竖直高度y$(单位：$m$)与距离停车棚支柱$AO的水平距离x$(单位：$m$)近似满足函数关系$y = -0.02x^{2}+0.3x + 1.6$的图象,点$B(6,2.68)$在图象上。若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长$CD = 4m$,高$DE = 1.8m$的矩形,则可判定货车____完全停到车棚内(填“能”或“不能”)。

能

答案： 能

13. 在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+2x + c经过点(-2,-3)$,与$x轴交于A$,$B(1,0)$两点,与$y轴交于点C$,点$P为x$轴上方抛物线上的动点,设点$P的横坐标为m$。
(1)此抛物线的解析式为$y=x^{2}+2x-3$,点$A$的坐标是$(-3,0)$；
(2)过点$P作PD\perp y$轴,垂足为点$D$,过点$P作y轴的平行线与直线AC相交于点N$,过点$N作y$轴的垂线,交$y轴于点E$,设矩形$PNED的周长为c$。
①求$c关于m$的函数解析式；
②当$c随m$的增大而增大时,求出$m$的取值范围。

(2)①设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$,把$A(-3,0)$,$C(0,-3)$代入,得$\begin{cases} -3k+b=0 \\ b=-3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-3 \end{cases}$.$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=-x-3$.设点$P(m,m^{2}+2m -3)$,则点$N(m,-m-3)$.当$m＜-3$时,如图1,$\therefore PD=0-m=-m$,$PN=m^{2}+2m -3-(-m-3)=m^{2}+3m$.$\therefore c=2(PD+PN)=2(-m+m^{2}+3m)=2m^{2}+4m$.
当$m＞1$时,如图2,$\therefore PD=m$,$PN=m^{2}+2m-3-(-m-3)=m^{2}+3m$.$\therefore c=2(PD +PN)=2(m+m^{2}+3m)=2m^{2}+8m$.$\therefore c=\begin{cases} 2m^{2}+4m(m＜-3) \\ 2m^{2}+8m(m＞1) \end{cases}$
②$\because c=\begin{cases} 2m^{2}+4m(m＜-3) \\ 2m^{2}+8m(m＞1) \end{cases}$,当$c=2m^{2}+4m(m＜-3)$时,对称轴为直线$m=-\dfrac{4}{2×2}=-1$,故当$m＞-1$时,$c$随$m$的增大而增大,不符合题意,舍去;当$c=2m^{2}+8m(m＞1)$时,对称轴为直线$m=-\dfrac{8}{2×2}=-2$,故当$m＞1$时,$c$随$m$的增大而增大.综上所述,当$m＞1$时,$c$随$m$的增大而增大.

答案：
(1)$y=x^{2}+2x-3$ ($-3,0$) 解:
(2)①设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$,把$A(-3,0)$,$C(0,-3)$代入,得$\begin{cases} -3k+b=0 \\ b=-3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=-3 \end{cases}$.$\therefore$直线$AC$的解析式为$y=-x-3$.设点$P(m,m^{2}+2m -3)$,则点$N(m,-m-3)$.当$m＜-3$时,如图1,$\therefore PD=0-m=-m$,$PN=m^{2}+2m -3-(-m-3)=m^{2}+3m$.$\therefore c=2(PD+PN)=2(-m+m^{2}+3m)=2m^{2}+4m$.
当$m＞1$时,如图2,$\therefore PD=m$,$PN=m^{2}+2m-3-(-m-3)=m^{2}+3m$.$\therefore c=2(PD +PN)=2(m+m^{2}+3m)=2m^{2}+8m$.$\therefore c=\begin{cases} 2m^{2}+4m(m＜-3) \\ 2m^{2}+8m(m＞1) \end{cases}$
②$\because c=\begin{cases} 2m^{2}+4m(m＜-3) \\ 2m^{2}+8m(m＞1) \end{cases}$,当$c=2m^{2}+4m(m＜-3)$时,对称轴为直线$m=-\dfrac{4}{2×2}=-1$,故当$m＞-1$时,$c$随$m$的增大而增大,不符合题意,舍去;当$c=2m^{2}+8m(m＞1)$时,对称轴为直线$m=-\dfrac{8}{2×2}=-2$,故当$m＞1$时,$c$随$m$的增大而增大.综上所述,当$m＞1$时,$c$随$m$的增大而增大.