《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程 $ ( x - 2 ) ( x + 7 ) = 0 $ 的解是$x_{1}=2,x_{2}=-7$。

答案： $x_{1}=2,x_{2}=-7$

2. 【解法辨析】用因式分解法解下列方程,正确的是(D)
A.$ x ( x + 1 ) = 0 $,$ \therefore x + 1 = 0 $
B.$ ( x + 1 ) ( x - 2 ) = 1 $,$ \therefore x + 1 = 1 $ 或 $ x - 2 = 1 $
C.$ ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 2 × 3 $,$ \therefore x - 1 = 2 $ 或 $ x - 2 = 3 $
D.$ ( x - 2 ) ( 3 x - 4 ) = 0 $,$ \therefore x - 2 = 0 $ 或 $ 3 x - 4 = 0 $

答案： D

3. (1)(答题模板)阅读下列解方程 $ x ^ { 2 } + 3 x = 0 $ 的步骤,完成填空：
① 方程左边分解因式,得$x(x+3)$= 0。
② 根据两个因式的积为 0 的性质,改写成两个一元一次方程,得$x=0$或$x+3=0$。
③ 解得 $ x _ { 1 } = $0,$ x _ { 2 } = $-3,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。这种解法体现的数学思想是(A)
A. 转化思想
B. 数形结合思想
C. 分类讨论思想
D. 建模思想
(2)【针对练习】用因式分解法解方程：
① $ x ^ { 2 } - 3 x = 0 $；
② $ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 $；
③ $ ( x - 3 ) ^ { 2 } - 25 = 0 $。
①解:$x(x-3)=0$.$x=0$或$x-3=0$.$\therefore x_{1}=0,x_{2}=3$ ②解:$(x+1)^{2}=0$.$\therefore x_{1}=x_{2}=-1$. ③解:$(x-3+5)(x-3-5)=0$.$\therefore x+2=0$或$x-8=0$.$\therefore x_{1}=-2,x_{2}=8$.

答案：
(1)①$x(x+3)$ ②$x=0$ $x+3=0$ ③0 -3 A
(2)①解:$x(x-3)=0$.$x=0$或$x-3=0$.$\therefore x_{1}=0,x_{2}=3$ ②解:$(x+1)^{2}=0$.$\therefore x_{1}=x_{2}=-1$. ③解:$(x-3+5)(x-3-5)=0$.$\therefore x+2=0$或$x-8=0$.$\therefore x_{1}=-2,x_{2}=8$.

4. 小红解方程 $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = x - 2 $,只得到一个根为 $ x = 3 $,其错误原因是未考虑$x-2=0$,漏掉的根是$x=2$。
【点津】解一元二次方程时,方程两边不能同时除以含未知数的代数式,否则会漏掉一个根。

答案： 未考虑$x-2=0$ $x=2$

5. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(A)
A.$ ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0 $
B.$ ( x - 2 ) ( x + 5 ) = 2 $
C.$ x ^ { 2 } + 5 x - 2 = 0 $
D.$ 12 ( 2 - x ) ^ { 2 } = 3 $

答案： A

6. (1)在下列各题的横线上填写适当的解法。
① 解方程 $ ( x - 1 ) ^ { 2 } = 2 $,用直接开平方法较适宜；
② 解方程 $ x ^ { 2 } + 2 x = 99 $,用配方法较适宜；
③ 解方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $,用公式法较适宜；
④ 解方程 $ 3 x ^ { 2 } + 2 x = 0 $,用因式分解法较适宜。
(2)【教材 P14 练习 T1 变式】用适当的方法解下列方程：
① $ 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } = \frac { 9 } { 2 } $；
② $ x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0 $；
③ $ x ( x - 7 ) = 8 ( 7 - x ) $。
①解:$(x-1)^{2}=\frac{9}{4}$.$\therefore x-1=\pm \frac{3}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}$. ②解:$\because a=1,b=-2,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4× 1× (-1)=8$.$\therefore x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$.$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2},x_{2}=1-\sqrt{2}$. ③解:原方程变形,得$x(x-7)+8(x-7)=0$.$\therefore (x-7)(x+8)=0$.$\therefore x-7=０$或$x+8=０$.$\therefore x_{1}=7,x_{2}=-8$.

答案：
(1)①直接开平方 ②配方 ③公式 ④因式分解
(2)①解:$(x-1)^{2}=\frac{9}{4}$.$\therefore x-1=\pm \frac{3}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}$. ②解:$\because a=1,b=-2,c=-1,\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4× 1× (-1)=8$.$\therefore x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$.$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2},x_{2}=1-\sqrt{2}$. ③解:原方程变形,得$x(x-7)+8(x-7)=0$.$\therefore (x-7)(x+8)=0$.$\therefore x-7=０$或$x+8=０$.$\therefore x_{1}=7,x_{2}=-8$.