《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

8.【教材P89习题T6变式】如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格,其中所应用的数学知识是直径所对的圆周角是直角（或$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径 ）.

答案： 直径所对的圆周角是直角

9.(教材P89习题T5改编) 一材多题
如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD= 60°,求∠DEB的度数;
(2)在(1)的条件下,若⊙O的半径是2,求AB的长.

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)$2\sqrt{3}$

10. 如图,⊙O的直径AE= 8,∠B= ∠EAC,则AC的长为 (B)
A.4
B.4√2
C.4√3
D.6

答案： B

11. 如图,⊙O的半径是4,点A,B,C,D在⊙O上,AC⊥BC,∠ADC= 30°,则BC的长是4√3.

答案： 解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵⊙O的半径是4，
∴AB=8，
∵∠ADC=30°，
∴∠ABC=∠ADC=30°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，
∴AC=1/2AB=4，
∴BC=√(AB²-AC²)=√(8²-4²)=4√3。
故答案为：4√3。

12.【教材P87例4变式】如图,AB是⊙O的直径,点C是⌢AB的中点,点D在⊙O上.
(1)请判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若∠ABD= 60°,BD= 2,求∠CAD的度数和AC的长.

答案：
(1)△ABC是等腰直角三角形。
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵点C是⌢AB的中点，
∴⌢AC=⌢BC，
∴AC=BC。
∴△ABC是等腰直角三角形。
(2)连接OD。
∵OB=OD，∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形。
∴∠BOD=60°，OB=BD=2，
∴AB=2OB=4。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB·sin45°=4×√2/2=2√2。
∵⌢AC=⌢BC，AB是直径，
∴⌢AC所对圆心角为90°，即∠AOC=90°。
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+(180°-∠BOD)=90°+120°=210°或∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-60°=30°（根据图形，D在劣弧BC上，取30°）。
∴∠CAD=1/2∠COD=1/2×30°=15°。
综上，∠CAD=15°，AC=2√2。

13. 如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交BC边于点D,过点C作CE//AB交⊙O于点E,连接AD,DE,∠B= ∠ADE.
(1)求证:AC= BC;
(2)若AD= 8,BD= 4,求⊙O的半径.

答案：
(1)证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵CE//AB，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠ADE，
∴∠DCE=∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠AEC=∠DEC+∠AED=180°，
∴点A，E，C共线（已作），
∵∠B=∠DCE，∠BAD=∠CED=90°-∠ADE=90°-∠B，
∠CAD=90°-∠ACD，
又
∵∠ACD=∠DCE（同角），
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，
即AC=BC；
(2)解：设CD=x，
∵AC=BC，BD=4，
∴BC=BD+CD=4+x，AC=4+x，
在Rt△ADC中，AD=8，
根据勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即8²+x²=(4+x)²，
64+x²=16+8x+x²，
64-16=8x，
48=8x，
x=6，
∴AC=4+6=10，
∴⊙O的半径为AC/2=5。