《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【例1】(原创)二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的图象如图所示：

(1)当$-2 \leq x \leq 0$时,$y随x$的增大而减小,$y$的最大值是5,最小值是-3。
(2)当$1 \leq x \leq 3$时,$y随x$的增大而增大,$y$的最大值是0,最小值是-4。
(3)当$-2 \leq x \leq 3$时,$y$的最大值是5,最小值是-4。

答案：
(1)减小 5 -3
(2)0 -4
(3)5 -4

1. 二次函数$y = -x^2 + 10x - 9$,当$1 \leq x \leq 7$时,函数的最大值是16,最小值是0。

答案： 16 0

解：$y = mx^2 + 2mx + 1 = m(x +$1$)^2 + 1 - m$,
对称轴是直线$x = $-1,对称轴在$-3 \leq x \leq 2$内,
当$m ＞ 0$时,根据点到对称轴的距离越大,函数值越大,可知$x = $2,$y$有最大值4。
$\therefore$$4m+4m$$+ 1 = 4$。解得$m = $$\frac{3}{8}$。
当$m ＜ 0$时,根据点到对称轴的距离越小,函数值越大,可知$x = $-1,$y$有最大值4。
$\therefore$$m-2m$$+ 1 = 4$。解得$m = $-3。
$\therefore$综上所述,$m$的值是$\frac{3}{8}$或-3。

答案： 1 -1 2 $4m+4m$ $\frac{3}{8}$ -1 $m-2m$ -3 $\frac{3}{8}$ -3

2. 抛物线$y = x^2 + 2mx + 2m^2 - m(m \neq 0)$经过原点。
(1)抛物线的解析式是______；
(2)$t \leq x \leq t + 1$时,$y$的最小值为2,求$t$的值。
(1)$y=x^{2}+x$
(2)解:抛物线的解析式为$y=x^{2}+x$,$\therefore$顶点 P 的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$;当$t+1＜-\frac{1}{2}$,即$t＜-\frac{3}{2}$时,y 随 x 增大而减小,由题意,得$(t+1)^{2}+t+1=2$.解得$t_{1}=-3$,$t_{2}=0$(舍去).$\therefore$t 的值为-3;当$t\leqslant -\frac{1}{2}\leqslant t+1$时,y 的最小值为$-\frac{1}{4}$,不符合题意;当$t＞-\frac{1}{2}$时,y 随 x 增大而增大,由题意,得$t^{2}+t=2$.解得$t_{1}=-2$(舍去),$t_{2}=1$.$\therefore$综上所述,t 的值是-3 或 1.

答案：
(1)$y=x^{2}+x$
(2)解:抛物线的解析式为$y=x^{2}+x$,$\therefore$顶点 P 的坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$;当$t+1＜-\frac{1}{2}$,即$t＜-\frac{3}{2}$时,y 随 x 增大而减小,由题意,得$(t+1)^{2}+t+1=2$.解得$t_{1}=-3$,$t_{2}=0$(舍去).$\therefore$t 的值为-3;当$t\leqslant -\frac{1}{2}\leqslant t+1$时,y 的最小值为$-\frac{1}{4}$,不符合题意;当$t＞-\frac{1}{2}$时,y 随 x 增大而增大,由题意,得$t^{2}+t=2$.解得$t_{1}=-2$(舍去),$t_{2}=1$.$\therefore$综上所述,t 的值是-3 或 1.