《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y= -x^{2}+bx-c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)$,与$y轴交于点C$.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点$M是直线AC$上方抛物线上的一个动点,求$\triangle MCA面积的最大值及点M$的坐标.

答案：
1.解:
(1)把A(-3,0),B(1,0)代入y=-x²+bx-c中,得{-9-3b-c=0,-1+b-c=0.解得{b=-2,c=-3.
∴这个二次函数的解析式是y=-x²-2x+3;
(2)设直线AC为y=mx+n,把A(-3,0),C(0,3)代入,得{-3m+n=0,n=3.解得{m=1,n=3.
∴y=x+3.设点M(a,-a²-2a+3),过点M作MN//y轴交AC于N,则N(a,a+3).
∴MN=-a²-2a+3-(a+3)=-a²-3a.
∴S△ACM=S△AMN+S△CMN=$\frac{1}{2}$MN·OA=$\frac{3}{2}$(-a²-3a)=-$\frac{3}{2}$a²-$\frac{9}{2}$a(-3＜a＜0).
∵-$\frac{3}{2}$＜0,开口向下,
∴当a=-$\frac{3}{2}$时,S△AMC最大,最大值是$\frac{27}{8}$,此时点M的坐标是(-$\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$).

2. (2025·沈阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y= x^{2}+bx+c的图象与x轴交于A$,$B$两点,$A$点在原点的左侧,$B点的坐标为(3,0)$,与$y轴交于C(0,-3)$点,点$P是直线BC$下方的抛物线上一动点.
(1)这个二次函数的解析式是______;
(2)求出四边形$ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC$的最大面积.

答案：
2.
(1)y=x²-2x-3
解:
(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x²-2x-3),设直线BC的解析式为y=kx+d,则{3k+d=0,d=-3.解得{k=1,d=-3.
∴直线BC的解析式为y=x-3.则Q点的坐标为(x,x-3),
∴QP=x-3-(x²-2x-3)=-x²+3x.由0=x²-2x-3,解得x₁=-1,x₂=3.
∴AO=1,AB=4.S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=$\frac{1}{2}$AB·OC+$\frac{1}{2}$QP·BF+$\frac{1}{2}$QP·OF=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$(-x²+3x)×3=-$\frac{3}{2}$(x-$\frac{3}{2}$)²+$\frac{75}{8}$.
∵-$\frac{3}{2}$＜0,开口向下,
∴当x=$\frac{3}{2}$时,四边形ABPC的面积最大,此时P点的坐标为($\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{4}$),四边形ABPC的面积的最大值为$\frac{75}{8}$.