《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

02 综合练
10. 在解一元二次方程 $ x ^ { 2 } + p x + q = 0 $ 时,小红看错了常数项 $ q $,得到方程的两个根是 -3,1；小明看错了一次项系数 $ p $,得到方程的两个根是 5,-4,则原来的方程是$x^{2}+2x-20=0$。

答案： $x^{2}+2x-20=0$

11. 已知矩形 $ A B C D $ 的周长是 12,面积是 5,且 $ A B , B C $ 的长恰好是方程 $ x ^ { 2 } + m x + n = 0 $ 的两根,则 $ m n = $-30。

答案： -30

03 素养练
12. 【新中考·解题方法型阅读理解题】
材料 1：若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 的两个根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = - \frac { b } { a } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { c } { a } $。
材料 2：已知一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m , n $,求 $ m ^ { 2 } n + m n ^ { 2 } $ 的值。
解：一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ m , n $,
$ \therefore m + n = 1 , m n = - 1 $,则 $ m ^ { 2 } n + m n ^ { 2 } = m n ( m + n ) = - 1 × 1 = - 1 $。
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题。
(1)材料理解：一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $ 的两个根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = $$\frac{3}{2}$, $ x _ { 1 } x _ { 2 } = $$-\frac{1}{2}$；
(2)类比应用：已知一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $ 的两根分别为 $ m , n $ 则 $ \frac { n } { m } + \frac { m } { n } $ 的值是$-\frac{13}{2}$；
(3)思维拓展：实数 $ m , n $ 满足 $ 2 m ^ { 2 } - 3 m - 1 = 0 , 2 n ^ { 2 } - 3 n - 1 = 0 $,且 $ m \neq n $,求 $ \frac { 1 } { m } - \frac { 1 } { n } $ 的值。
解:由题意,得m,n是一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根, $\therefore m+n=\frac{3}{2}$,$mn=-\frac{1}{2}$. $\because (n-m)^{2}=(n+m)^{2}-4mn=(\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$. $\therefore n-m=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$. $\therefore \frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}=\pm\sqrt{17}$.

答案：
(1)$\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)$-\frac{13}{2}$
(3)解:由题意,得m,n是一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根, $\therefore m+n=\frac{3}{2}$,$mn=-\frac{1}{2}$. $\because (n-m)^{2}=(n+m)^{2}-4mn=(\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$. $\therefore n-m=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$. $\therefore \frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn}=\pm\sqrt{17}$.

解：$ \because a , b $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0 $ 的两根,
$ \therefore a ^ { 2 } - 3 a - 5 = 0 , b ^ { 2 } - 3 b - 5 = 0 , a + b = 3 $。
$ \therefore a ^ { 2 } - 3 a = $5, $ b ^ { 2 } = $5+3b。
$ \therefore 2 a ^ { 3 } - 6 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 7 b + 1 $
$ = 2 a ( a ^ { 2 } - 3 a ) + $3b+5 $ + 7 b + 1 $
$ = $10 $ a + $10 $ b + 6 $
$ = $10 $ ( a + b ) + 6 $
$ = $10 $ × 3 + 6 $
$ = $36。

答案： 5 5+3b 3b+5 10 10 10 10 36

1. (2024·德州)若 $ a , b $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2024 x - 4 = 0 $ 的两个根,则 $ a ^ { 2 } + 2023 a - b $ 的值为 ( )
A.2020
B.2024
C.2028
D.-2024

答案： 1.C

2. 已知 $ m , n $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 5 = 0 $ 的两个根,则 $ m ^ { 2 } + m n + 2 m $ 的值是____。

答案： 2.0

3. 【针对练习 T1 变式·逆向思维】$ \alpha , \beta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - x + k - 1 = 0 $ 的两个实数根,且 $ \alpha ^ { 2 } - 2 \alpha - \beta = 4 $,则 $ k $ 的值为____。

答案： 3.-4