《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

3.如图,在正方形ABCD内作∠EAF= 45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
(1)求证:EF= DF+BE;
(2)若正方形ABCD的边长为6,DF= 3,则BE的长是2.

答案： 2

4.如图,△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,D,E为BC上的两点,且∠DAE= 45°,若BD= 1,CE= 2,则DE= ______.

$\sqrt{5}$

答案： 解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACF，连接EF。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，旋转后AB与AC重合，∠ACF=∠B=45°，CF=BD=1，∠CAF=∠BAD。
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠EAF=45°=∠DAE。
在△ADE和△AFE中，
AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴DE=EF。
∵∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，CE=2，CF=1，
∴在Rt△ECF中，EF²=CE²+CF²=2²+1²=5，
∴EF=√5，即DE=√5。
√5

5.如图,在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD= 120°,点E,F分别在BC和DC上,且∠EAF= 60°= ∠C,把△ADF绕点A顺时针旋转得△ABM,试判断BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.

答案： 解：EF=BE+DF，理由如下：
∵△ADF绕点A顺时针旋转得△ABM，
∴△ADF≌△ABM，
∴AM=AF，BM=DF，∠BAM=∠DAF，∠ABM=∠D。
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠BAE+∠BAM=60°，即∠MAE=60°，
∴∠MAE=∠EAF。
在△MAE和△FAE中，
∵AM=AF，∠MAE=∠FAE，AE=AE，
∴△MAE≌△FAE(SAS)，
∴ME=EF。
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC+∠D=60°，
∵∠ABM=∠D，
∴∠ABC+∠ABM=60°，即∠MBE=60°。
∵∠C=60°，
∴∠MBC+∠C=120°≠180°，
又
∵点E在BC上，
∴M，B，E三点共线（旋转后BM与BE在同一直线上），
∴ME=BE+BM。
∵BM=DF，ME=EF，
∴EF=BE+DF。

6.【新课标·补充解题过程】如图,在△ABC中,∠ABC= 45°,AB= √2,BC= 4,以AC为直角边向△ABC外侧作等腰Rt△ACD,∠CAD= 90°,连接BD,求线段BD的长.
下面是小博的解题过程,请补充完整.
如解图,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE,连接BE,EC.

答案： 解：由旋转性质得，AE=AB=√2，∠BAE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=√(AB²+AE²)=√[(√2)²+(√2)²]=2，∠ABE=45°.
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°.
在Rt△EBC中，BC=4，BE=2，
∴EC=√(BE²+BC²)=√(2²+4²)=2√5.
∵△ACD是等腰直角三角形，∠CAD=90°，
∴AC=AD，∠CAD=90°.
∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中，
{AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，}
∴△EAC≌△BAD(SAS)，
∴BD=EC=2√5.