《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1.【概念辨析】下列说法正确的是 (C)
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

答案： C

2.(1)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点P是劣弧$\overset{\frown }{BC}$上一点(点P不与点C重合),则∠CPD= (B)

A. $45^{\circ}$
B. $36^{\circ}$
C. $35^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
(2)(2024·镇江)如图,AB是⊙O的内接正n边形的一边,点C在⊙O上,∠ACB= $18^{\circ}$,则n= 10.

答案：
(1)B
(2)10

3.(教材P106例题改编)
如图,已知六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形,且⊙O的半径为2.

(1)正六边形ABCDEF的一个内角的度数为$120^{\circ }$；
(2)正六边形ABCDEF的中心角的度数为$60^{\circ }$；
(3)正六边形ABCDEF的边长为2；
(4)正六边形ABCDEF的边心距为$\sqrt {3}$；
(5)正六边形ABCDEF的面积是$6\sqrt {3}$.

答案：
(1)$120^{\circ }$
(2)$60^{\circ }$
(3)2
(4)$\sqrt {3}$
(5)$6\sqrt {3}$

4.【教材P106练习T3变式】如图,正△ABC的边长是$2\sqrt{3}$,求此三角形的半径、边心距和面积.

答案：
解:设点 O 是正$\triangle ABC$的中心,连接 OB,OC,过点 O 作$OD⊥BC$于 D,则$∠ODB=90^{\circ },BD=CD=\frac {1}{2}BC=\sqrt {3}.\because ∠BOC=\frac {360^{\circ }}{3}=120^{\circ },OB=OC,\therefore ∠OBC=∠OCB=\frac {180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.在$Rt\triangle OBD$中,$∠OBC=30^{\circ },\therefore OB=2OD.\because OB^{2}=OD^{2}+BD^{2},\therefore (2OD)^{2}=OD^{2}+(\sqrt {3})^{2}.\therefore OD=1.\therefore OB=2OD=2.\therefore S_{\triangle ABC}=3×\frac {1}{2}BC\cdot OD=3×\frac {1}{2}×2\sqrt {3}×1=3\sqrt {3}$.
∴半径是 2,边心距是 1,面积是$3\sqrt {3}.$

5. 若AB是圆内接正六边形的一边,AC是同圆的内接正方形的一边,则∠BAC=$15^{\circ }$或$105^{\circ }$.

答案： $15^{\circ }$或$105^{\circ }$

6. 图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图2,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).

答案：
解:如图.