《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

10. 某商品的进货单价为 30 元/个,当销售单价为 40 元/个时,每天能卖出 40 个,若销售单价每上涨 1 元/个,则每天的销量就减少 1 个。设该商品的销售单价为 $ x $ 元/个,每天的利润为 $ y $ 元,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为(D)
A.$ y = ( x - 30 ) [ 40 - ( 40 - x ) ] $
B.$ y = ( x - 40 ) [ 40 - ( x - 40 ) ] $
C.$ y = ( 10 + x ) ( 40 + x ) $
D.$ y = ( x - 30 ) [ 40 - ( x - 40 ) ] $

答案： D

11.【数形结合思想】如图,正方形 $ EFGH $ 的顶点在边长为 2 的正方形的边上。若设 $ AE = x $,正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为______y=2x²-4x+4。

答案： y=2x²-4x+4

12.【教材 P57 复习题 T7 变式】如图,用长为 45 m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度是 21 m),围成中间有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 $ AB $ 是 $ x $(单位：m),面积是 $ S $(单位：$ m ^ { 2 } $)。
(1)求 $ S $ 与 $ x $ 的函数关系式及 $ x $ 的取值范围；
(2)如果要围成面积为 $ 162 $ $ m ^ { 2 } $ 的花圃,$ AB $ 的长为多少米？

答案： 解:
(1)S=x(45-3x)=-3x²+45x(8≤x＜15);
(2)当 S=162 时,-3x²+45x=162.解得x₁=6,x₂=9.
∵8≤x＜15,
∴x=9.答:AB 的长是 9 m.

13.【教材 P41 习题 T8 变式】如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ \angle B = 90 ^ { \circ } $,$ A B = 12 $ mm,$ B C = 24 $ mm,动点 $ P $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ B A $ 向 $ A $ 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 $ A $ 重合),动点 $ Q $ 从点 $ C $ 开始沿边 $ C B $ 向 $ B $ 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 $ B $ 重合)。如果 $ P $,$ Q $ 分别从 $ B $,$ C $ 同时出发,设运动的时间为 $ x $(单位：s),四边形 $ A P Q C $ 的面积为 $ y $(单位：$ mm ^ { 2 } $)。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)求自变量 $ x $ 的取值范围；
(3)四边形 $ A P Q C $ 的面积能否等于 $ 172 $ $ mm ^ { 2 } $,若能,求出运动的时间；若不能,说明理由。

答案： 解:
(1)由题意可知,BP=2x mm,CQ=4x mm,BQ=(24-4x)mm,则 y=$\frac{1}{2}$BC·AB-$\frac{1}{2}$BQ·BP=$\frac{1}{2}$×24×12-$\frac{1}{2}$·2x·(24-4x),即 y=4x²-24x+144.
(2)
∵0＜AP＜AB,0＜BQ＜BC,
∴0＜x＜6.
(3)当 y=172 时,4x²-24x+144=172.即 x²-6x-7=0.
∴x₁=7,x₂=-1.
∵0＜x＜6,
∴x₁=7,x₂=-1 均不符合题意,舍去.
∴四边形 APQC 的面积不能等于172 mm².