《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

8. (1)(2025·哈尔滨模拟)一元二次方程$(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$有一个根是0,则$a$的值是(A)
A. 2 B. $-2$
C. 2或$-2$ D. $\frac{1}{2}$
(2)【T8(1)变式·逆向思维】若一元二次方程$ax^{2}-bx + c = 0(a\neq0)满足a + b + c = 0$,则方程必有一根为(B)
A. 1 B. $-1$ C. 0 D. 2

答案：
(1)A
(2)B

9. 【新课标·数学文化】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：“今有户高多于广六尺,两隅相去适一丈,问户高、广各几何？”大意是：“有一扇矩形门的高比宽多6尺,门的对角线长为1丈(1丈$=10$尺),那么门的高和宽各是多少？”设门的宽为$x$尺,根据题意可列方程为$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$。

答案： $x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

10. 【教材P4习题T2变式】根据下面的问题列出关于$x$的方程,并将方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)【新情境·乒乓球“梦之队”】我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩,奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛,赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场),每个组共安排28场比赛。设每个组邀请$x$支球队参加比赛,求参赛的乒乓球队的支数；
(2)在元旦前夕,某班数学小组的同学互相赠送卡片,每两个同学之间都互相赠送一张,这样一共赠送了90张,求该小组学生人数$x$。

答案：
(1)解:$\frac{1}{2}x(x-1)=28$,$x^{2}-x-56=0$.
(2)解:$x(x-1)=90$,$x^{2}-x-90=0$.

11. 【新中考·新定义型阅读理解题】
定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)满足a - b + c = 0$,那么我们称这个方程为“理想方程”。
(1)判断一元二次方程$2x^{2}+9x + 7 = 0$是否为“理想方程”,说明理由；
(2)已知$4x^{2}-mx + n = 0是关于x$的“理想方程”,若2是此“理想方程”的一个根,求$m$,$n$的值。

答案：
(1)一元二次方程$2x^{2}+9x + 7 = 0$是"理想方程".理由如下:$\because a=2$,$b=9$,$c=7$,$2-9+7=0$,$\therefore$一元二次方程$2x^{2}+9x + 7 = 0$为"理想方程";
(2)$\because 4x^{2}-mx + n = 0$是关于x的"理想方程",$\therefore 4+m+n=0$.将$x=2$代入$4x^{2}-mx + n = 0$中,得$16-2m+n=0$,联立$\left\{\begin{array}{l} 4+m+n=0,\\ 16-2m+n=0.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=-8.\end{array}\right.$$\therefore m=4$,$n=-8$.

12. 【整体思想】已知$a是一元二次方程x^{2}-2025x + 1 = 0$的一个根,试求$a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}$的值。

答案： 解:$\because a$是一元二次方程$x^{2}-2025x+1=0$的一个根,$\therefore a^{2}-2025a+1=0$.$\therefore a^{2}+1=2025a$,$a^{2}=2025a-1$.$\therefore a^{2}-2024a+\frac{2025}{a^{2}+1}=2025a-1-2024a+\frac{2025}{2025a}=a-1+\frac{1}{a}=\frac{a^{2}-a+1}{a}=\frac{2024a}{a}=2024.$