《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1.(教材P51“探究3”改编) 一题多变
(1)【已知解析式,求水面到拱顶的距离】某桥的桥拱可以用如图所示的抛物线的一部分表示,其函数解析式为$y= -\frac {1}{36}x^{2}$,当水面宽度AB为24m时,水面离拱顶的距离OD等于4m。


(2)【已知水面到拱顶的距离,求水面的宽度】如图是一座抛物线形拱桥,当拱顶到水面的距离为2m时,水面宽4m。若水面下降2m,则水面宽度为$4\sqrt{2}$m。

答案：
(1)4
(2)$4\sqrt{2}$

2.如图,一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的,隧道宽$BC= 10m$,矩形部分的高$AB= 3m$,抛物线的最高点E离地面的距离$OE= 6m$。以直线BC为x轴,直线OE为y轴建立平面直角坐标系如下：
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果该隧道内设有双车道,现有一辆货运卡车高4.5m、宽3m,那么这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？

答案： 解:
(1)设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+c$,$\because$点$E(0,6)$,$A(-5,3)$在此抛物线上,$\therefore \begin{cases} c=6, \\25a+c=3. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\dfrac{3}{25}, \\ c=6. \end{cases}$$\therefore$此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{3}{25}x^{2}+6$;
(2)当$x= \pm 3$时,$y=-\dfrac{3}{25}×9+6=4.92＞4.5$.$\therefore$这辆货运卡车能顺利通过隧道.

3.某广场有一喷水池,水从地面喷出。如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线$y= -x^{2}+4x$的一部分,则水喷出的最大高度是4m。

答案： 4

4.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是条抛物线。若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：$h= -5t^{2}+20t$。则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间$t=$2s。

答案： 2

5.(中考·兰州)一名运动员在10m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m。
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长。

答案： 解:
(1)根据题意知,抛物线过$(0,10)$和$(3,7)$,对称轴为直线$x=1$,设$y$关于$x$的函数表达式为$y=a(x-1)^{2}+k$.$\therefore \begin{cases} a+k=10, \\4a+k=7. \end{cases}$解得:$\begin{cases} a=-1, \\k=11. \end{cases}$$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=-(x-1)^{2}+11$;
(2)令$y=-(x-1)^{2}+11=0$.解得$x=\sqrt{11}+1$或$x=-\sqrt{11}+1$(舍去).答:运动员从起跳点到入水点的水平距离$OB$的长为$(\sqrt{11}+1)\text{m}$.