《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

6.如图,点$O是矩形ABCD$的对称中心,$E$,$F分别是边AB$,$CD$上的点,且$BE= DF$,已知矩形$ABCD的面积是32$,那么图中阴影部分的面积为8.

答案： 8

7.在平面直角坐标系中,若$A$,$B两点的坐标分别是(-5,4)$,$(3,1)$,将点$B向右平移2$个单位,再向下平移$5个单位得到点C$,则点$A$,$C$关于(C)
A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.直线$y= x$对称

答案： C

8.(2025·乌鲁木齐模拟)以原点为中心,将点$P(4,5)按逆时针方向旋转90^{\circ}$,得到的点$Q$的坐标为(C)
A.$(-4,5)$
B.$(4,-5)$
C.$(-5,4)$
D.$(5,-4)$

答案： C

9.如图,将$\triangle ABC绕点A顺时针旋转60^{\circ}得到\triangle ADE$,点$B的对应点为D$,点$C的对应点为E$.
(1)作出旋转后的图形(尺规作图,保留作图痕迹)；
(2)连接$CE$,若$\angle ACB= 120^{\circ}$,请判断直线$BC是否经过点E$,并说明理由.

答案： 解：
(1)如图，△ADE即为所求；
(2)直线BC经过点E.理由：由旋转可得，∠EAC=60°，AE=AC，
∴△ACE为等边三角形.
∴∠ACE=60°.
∵∠ACB=120°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=180°.
∴点B,C,E在一条直线上，
∴直线BC经过点E.

10.(2025·襄阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCO$的两边与坐标轴重合,$OA= 2$,$OC= 1$.将矩形$ABCO绕点O$逆时针旋转,每次旋转$90^{\circ}$,则第$2024$次旋转结束时,点$B$的坐标是(C)
A.$(-2,-1)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(1,-2)$

答案： C

11.正方形$ABCD的边长为5$,$E$,$F分别是AB$,$BC$边上的点,且$\angle EDF= 45^{\circ}$,将$\triangle DAE绕点D逆时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle DCM$.
(1)求证：$EF= FC+AE$；
(2)若$AE= 2$,求$EF$的长.

答案：
(1)证明：
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠DCF=90°.
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∠EDM=90°，AE=CM.
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°.
∴F,C,M三点共线.又
∵∠EDF+∠FDM=∠EDM=90°，∠EDF =45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°.
∵DE=DM，DF=DF，
∴△DEF≌△DMF.
∴EF =MF.
∴EF=FM=FC+CM=FC+AE；
(2)解：设EF=MF=x.
∵AE=CM=2，BC=5=AB，
∴BE=AB - AE=5 - 2=3，BM=BC+CM=5+2=7.
∴BF=BM - MF=BM - EF=7 - x.在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB²+BF²=EF²，3²+(7 - x)²=x²,解得x=29/7
∴EF=29/7.