《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. (2025·十堰模拟)设方程 $ x ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 $ 的两根分别是 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } $ 的值为 (C)
A.-3
B.3
C.4
D.-4

答案： C

2. (1)已知 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是方程 $ x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0 $ 的两根,则 $ x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } $ 的值是6。
(2)【T2(1)变式】若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - m x + 2 = 0 $ 的一个根是 -1,则另一个根是-2。

答案：
(1)6
(2)-2

3. 【教材 P16 例 4 变式】不解方程,求下列方程的两根之和与积：
(1) $ x ^ { 2 } - 2 x = 5 $；
(2) $ 3 x ^ { 2 } + 2 x = 2 ( x + 1 ) $。

答案：
(1)解:原方程变形为$x^{2}-2x-5=0$,$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=-5$.
(2)解:原方程变形为$3x^{2}-2=0$. $\therefore x_{1}+x_{2}=0$,$x_{1}x_{2}=-\frac{2}{3}$.

4. (1)一元二次方程 $ x ^ { 2 } - x - 6 = 0 $ 的两根分别是 $ x _ { 1 } $ 和 $ x _ { 2 } $,则 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } $ 的值是 (C)
A. 5 B. -7 C. 7 D. -5
(2)【T4(1)变式·逆向思维】若 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是方程 $ x ^ { 2 } + m x - n = 0 $ 的两根,且 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 , x _ { 1 } x _ { 2 } = - 3 $,则 $ m = $-2, $ n = $3。

答案：
(1)C
(2)-2 3

5. 【教材 P17 习题 T7 变式】已知 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 5 x - 2 = 0 $ 的两根,不解方程求下列各式的值：
(1) $ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } $； (2) $ x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } $。

答案： 解:由题意,得$x_{1}+x_{2}=5$,$x_{1}x_{2}=-2$.
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5^{2}-2×(-2)=29$.

6. (2024·乐山)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x + p = 0 $ 的两根是 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,且 $ \frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } } = 3 $,则 $ p $ 的值是 (A)
A.$ - \frac { 2 } { 3 } $
B.$ \frac { 2 } { 3 } $
C.-6
D.6

答案： A

7. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 2 m + 1 = 0 $ 的两实数根之积为负数,则实数 $ m $ 的取值范围是$m＞\frac{1}{2}$。

答案： $m＞\frac{1}{2}$

8. (2025·汕头模拟)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 2 m + 5 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x _ { 1 } $ 和 $ x _ { 2 } $。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } = 3 $,求 $ m $ 的值。

答案： 解:
(1)由题意,得$(-4)^{2}-4(-2m+5)＞0$. 解得$m＞\frac{1}{2}$;
(2)由题意,得$x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1}x_{2}=5-2m$. $\because x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=3$, $\therefore 4+5-2m=3$. 解得$m=3$, $\because m＞\frac{1}{2}$, $\therefore m$的值是3.

9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 m + 3 ) x + m ^ { 2 } = 0 $ 的两个实数根为 $ x _ { 1 } , x _ { 2 } $,且 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = x _ { 1 } x _ { 2 } $,则 $ m $ 的值是3。

答案： 3