《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

5. (1)(答题模板)解方程$x^{2}-4x - 5 = 0$.
解:$\because -5 = -5×1,-5 + 1 = $-4.
∴原方程可变形为(x-5)(x+1)$ = 0$.
$\therefore x_{1}= $5,$x_{2}= $-1.
(2)【针对练习】解下列方程:
①$x^{2}+5x + 6 = 0$; ②$x^{2}-x - 72 = 0$;
③$x^{2}-7x + 6 = 0$; ④$x^{2}+x - 72 = 0$.
①解:(x+2)(x+3)=0.
∴x₁=-2,x₂=-3. ②解:(x-9)(x+8)=0.
∴x₁=9,x₂=-8. ③解:(x-1)(x-6)=0.
∴x₁=1,x₂=6. ④解:(x+9)(x-8)=0.
∴x₁=-9,x₂=8.

答案： 5.
(1)-4 (x-5)(x+1) 5 -1
(2)①解:(x+2)(x+3)=0.
∴x₁=-2,x₂=-3. ②解:(x-9)(x+8)=0.
∴x₁=9,x₂=-8. ③解:(x-1)(x-6)=0.
∴x₁=1,x₂=6. ④解:(x+9)(x-8)=0.
∴x₁=-9,x₂=8.

6. 【新中考·解题方法型阅读理解题】
阅读材料,解答问题:
解方程$(x^{2}+1)^{2}-2(x^{2}+1)-3 = 0$.
解:设$x^{2}+1 = y$,则原方程可变形为$y^{2}-2y - 3 = 0$.$\therefore y_{1}= 3,y_{2}= -1$.
当$y = 3$时,$x^{2}+1 = 3$,
$\therefore x^{2}= 2,\therefore x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2}$;
当$y = -1$时,$x^{2}+1 = -1$,
$\therefore x^{2}= -2$,此方程无实数根.
∴原方程的解为$x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2}$.
我们将上述解方程的方法叫做换元法,此方法达到了降次的目的,体现了数学思想中的转化思想.
【问题解决】利用上述方法解方程$(2y - 1)^{2}-(2y - 1)-2 = 0$.

答案： 6.解:设2y-1=a,则原方程可变形为a²-a-2=0.解得a₁=2,a₂=-1.当a₁=2时,2y-1=2,解得y=1.5;当a₂=-1时,2y-1=-1,解得y=0.
∴y₁=0,y₂=1.5.

7. 【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读理解以下内容,并解决问题:
解方程:$x^{2}+|x|-2 = 0$.
解:①当$x\geq0$时,原方程化为$x^{2}+x - 2 = 0$.
解得$x_{1}= 1,x_{2}= -2$.
$\because x\geq0,\therefore x = 1$;
②当$x\lt0$时,原方程化为$x^{2}-x - 2 = 0$.
解得$x_{1}= 2,x_{2}= -1$.
$\because x\lt0,\therefore x = -1$.
综上所述,原方程的解是$x_{1}= 1,x_{2}= -1$.
依照上述方法,解方程$x^{2}-2|x - 2|-4 = 0$.

答案： 7.解:①当x-2≥0,即x≥2时,原方程化为:x²-2(x-2)-4=0.解得x₁=0,x₂=2.
∵x≥2,
∴x=2.②当x-2＜0,即x＜2时,原方程化为:x²+2(x-2)-4=0.解得x₁=-4,x₂=2.
∵x＜2,
∴x=-4.综上所述,原方程的解是x₁=2,x₂=-4.