《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【例】(2025·兰州模拟)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}= 0$有两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若$x_{1},x_{2}$是该方程的两个根,且满足$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}-1= 0$,求m的值.

答案： 解:
(1)
∵x²+(2m-1)x+m²=0有两个实数根,
∴Δ=b²-4ac≥0.
∴(2m-1)²-4m²≥0.
∴m≤$\frac{1}{4}$;
(2)
∵x₁,x₂是该方程的两个根,
∴x₁+x₂=-(2m-1),x₁x₂=m².
∵x₁x₂+x₁+x₂-1=0,
∴m²-(2m-1)-1=0.
∴m=0或2.
∵m≤$\frac{1}{4}$,
∴m=0.

1.已知关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}-4x+1= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$.
(1)求m的取值范围;
(2)若$x_{1}= -1$,求m的值及$x_{2}$.

答案： 1.解:
(1)由题意,得Δ=(-4)²-4(m-2)≥0且m-2≠0,解得m≤6且m≠2;
(2)把x₁=-1代入方程(m-2)x²-4x+1=0,得m-2+4+1=0.解得m=-3.
∴方程为-5x²-4x+1=0.
∴x₁·x₂=-$\frac{1}{5}$.
∵x₁=-1,
∴x₂=$\frac{1}{5}$.

2.(2025·乌鲁木齐模拟)已知$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-3= 0$的两个实数根.
(1)则k的取值范围是k≤$\frac{21}{4}$;
(2)若$x_{1}^{2}+2x_{1}+x_{2}+k= 4$,试求k的值.
解:∵x₁是关于x的一元二次方程x²+3x+k-3=0的根,∴x₁²+3x₁+k-3=0,即x₁²=-3x₁-k+3.∵x₁²+2x₁+x₂+k=4,∴-3x₁-k+3+2x₁+x₂+k=4,即x₂-x₁=1①.x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-3②.联立①②解得$\begin{cases}x₁=-2, \\x₂=-1. \end{cases}$即(-2)²+2×(-2)+(-1)+k=4.解得k=5.

答案： 2.
(1)k≤$\frac{21}{4}$ 解:
(2)
∵x₁是关于x的一元二次方程x²+3x+k-3=0的根,
∴x₁²+3x₁+k-3=0,即x₁²=-3x₁-k+3.
∵x₁²+2x₁+x₂+k=4,
∴-3x₁-k+3+2x₁+x₂+k=4,即x₂-x₁=1①.x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-3②.联立①②解得$\begin{cases}x₁=-2, \\x₂=-1. \end{cases}$即(-2)²+2×(-2)+(-1)+k=4.解得k=5.

3.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1= 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求m的值.

答案： 3.解:
(1)x²-(m+2)x+m-1=0,a=1,b=-(m+2),c=m-1,Δ=b²-4ac=[-(m+2)]²-4×1×(m-1)=m²+4m+4-4m+4=m²+8.
∵m²≥0,
∴m²+8＞0,即Δ＞0.
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)方程x²-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x₁,x₂,则x₁+x₂=m+2,x₁x₂=m-1.
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=9,即(x₁+x₂)²-3x₁x₂=9.
∴(m+2)²-3(m-1)=9.解得m₁=-2,m₂=1.
∴m的值为-2或1.