《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

3. 如图,抛物线$y= -\frac {4}{3}x^{2}+bx+4$与x轴交于$A(-3,0)$,B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标;
(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点D坐标.

答案： 解:
(1)把点A的坐标代入解析式得$b=-\frac{8}{3}$.$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x+4$.$\therefore$点C的坐标为$(0,4)$,点B的坐标为$(1,0)$.
(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况:①若AC为对角线，设AC 的中点为F,则根据中点坐标公式可得F的坐标为$(-1.5,2)$,设点D的坐标为$(a,b)$,则有$\frac{1+a}{2}=-\frac{3}{2}$,$\frac{0+b}{2}=2$.解得$a=-4$,$b=4$,此时点D的坐标为$(-4,4)$.②若以AB为对角线，设AB的中点为F,则F的坐标为$(-1,0)$,设点D的坐标为$(a,b)$,则有$\frac{0+a}{2}=-1$,$\frac{4+b}{2}=0$.解得$a=-2$,$b=-4$,此时点D的坐标为$(-2,-4)$.③若以BC为对角线,设BC的中点为F,则点F的坐标为$(0.5,2)$,设点D的坐标为$(a,b)$，则有$\frac{-3+a}{2}=\frac{1}{2}$,$\frac{0+b}{2}=2$.解得$a=4$,$b=4$,此时点D的值坐标为$(4,4)$.综上所述，点D的坐标为$(-4,4)$或$(-2,-4)$或$(4,4)$.

4. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+2$与x轴交于点$A(-1,0)和点B(4,0)$,与y轴交于点C,连接BC,点D在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上移动,连接CD,请求出$∠DCB= ∠ABC$时点D的坐标.

答案： 解:
(1)抛物线的表达式为:$y=a(x +1)(x-4)=a(x^{2}-3x-4)$,把$C(0,2)$代入,则$-4a=2$.解得$a=-\frac{1}{2}$.$\therefore y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$;
(2)当点D在x轴上方时,则点$D'$和点C关于抛物线对称轴对称,则点$D'(3,2)$;当点D在x轴下方时,设CD交x轴于点H,设点$H(x,0)$,$\because ∠DCB=∠ABC$,则$CH=BH$,则$(4-x)^{2}=x^{2}+4$.解得$x=\frac{3}{2}$,即点$H(\frac{3}{2},0)$.由点C,H的坐标得,直线CH的表达式为:$y=-\frac{4}{3}x+2$.联立，得$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2=-\frac{4}{3}x+2$.解得$x=0$(舍去)或$\frac{17}{3}$.即点D的坐标为$(\frac{17}{3},-\frac{50}{9})$.综上所述,点D的坐标为$(3,2)$或$(\frac{17}{3},-\frac{50}{9})$.