《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. 若二次函数的图象的顶点坐标为$(2,-1)$,且抛物线过$(0,3)$,则二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$.

答案： $y=(x-2)^2-1$

2. 已知二次函数的图象经过点$A(1,-2)和B(0,-1)$,且对称轴为直线$x= 1$,求这个二次函数的解析式.

答案： 解:设这个二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$,根据题意,得$\begin{cases} a+b+c=-2, \\ c=-1, \\ \dfrac{-b}{2a}=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-2, \\ c=-1. \end{cases}$$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^2-2x-1$.

3. 已知抛物线$y= ax^{2}-4ax+c经过点C(0,3)$,与$x轴交于A$,$B$两点($A点在B$点的左边),且$AB= 2$,求抛物线的解析式.

答案： 解:$\because$对称轴为直线$x=-\dfrac{-4a}{2a}=2$,图象与$x$轴交于$A,B$两点,且$AB=2$,$\therefore A(1,0),B(3,0)$.把$A(1,0),C(0,3)$代入$y=ax^2-4ax+c$中,得$\begin{cases} a-4a+c=0 \\ c=3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a=1 \\ c=3 \end{cases}$,$\therefore y=x^2-4x+3$.

4. 如图,直线$y= -\frac{1}{2}x+2与x轴交于点B$,与$y轴交于点C$,已知二次函数的图象经过点$B$,$C和点A(-1,0)$,求该二次函数的解析式.

答案： 解:令$y=-\dfrac{1}{2}x+2=0$,则$x=4$.$\therefore B(4,0)$.当$x=0$时,$y=2$.$\therefore C(0,2)$.设二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)$,把$C(0,2)$代入,解得$a=-\dfrac{1}{2}$.$\therefore y=-\dfrac{1}{2}(x-4)(x+1)=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2$.

5. (2025·长春模拟)将抛物线$y= x^{2}+2x$向左平移2个单位长度,再向下平移$2$个单位长度后所得抛物线的解析式是$y=x^2+6x+6$.

答案： $y=x^2+6x+6$

6. (1)(答题模板)求抛物线$y= x^{2}-2x-1$沿x轴翻折后的抛物线的解析式.
$\because y= x^{2}-2x-1$的顶点坐标为$(1,-2)$,$\therefore沿x$轴翻折后顶点坐标为$(1,2)$,其二次项系数为$-1$,$\therefore其解析式为y= $$-(x-1)^2+2$.
(2)【针对练习】①将抛物线$y= x^{2}-2x-1沿y$轴翻折所得抛物线为$y=(x+1)^2-2$.
②将抛物线$y= x^{2}+2x-1沿x轴翻折后再向下平移5$个单位长度,所得的抛物线的解析式是$y=-(x+1)^2-3$.

答案：
(1)$(1,-2)$ $(1,2)$ $-1$ $-(x-1)^2+2$
(2)①$y=(x+1)^2-2$ ②$y=-(x+1)^2-3$