《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象是抛物线,它与抛物线$y = ax^2$的形状相同,位置不同,其对称轴是直线$x=h$,顶点坐标是$(h,k)$,将抛物线$y = ax^2$向上(下)向左(右)平移,可以得到$y = a(x - h)^2 + k$,平移的方向和距离要根据$h,k$的值来决定。
2. 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$,若$a ＞ 0$,开口向上,当$x ＜ h$时,$y随x$的增大而减小,当$x ＞ h$时,$y随x$的增大而增大；若$a ＜ 0$,恰好相反。

答案： 1. 抛物线 形状 位置 $ x=h $ $ (h,k) $ 上(下) 左(右) $ h,k $ 2. 上 减小 增大

1.【教材P37练习变式】填写下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
向下直线 $ x=-3 $$ (-3,5) $向上直线 $ x=-1 $$ (-1,-2) $向上直线 $ x=5 $$ (5,-7) $

答案： 向下 直线 $ x=-3 $ $ (-3,5) $ 向上 直线 $ x=-1 $ $ (-1,-2) $ 向上 直线 $ x=5 $ $ (5,-7) $

2. 二次函数$y = (x - 1)^2 - 1$的大致图象是(A)

答案： A

3. (2025·哈尔滨模拟)关于二次函数$y = -2(x - 3)^2 + 5$的最大值或最小值,下列说法正确的是(B)
A.有最大值3
B.有最大值5
C.有最小值3
D.有最小值5

答案： B

4. (1)【性质辨析】二次函数$y = (x - 1)^2 + 1$,$y = -(x - 2)^2 + 1$的图象如图所示,根据图象填空：
二次函数$y = (x - 1)^2 + 1$,当$x$＜ 1时,$y随x$的增大而减小,当$x$＞ 1时,$y随x$的增大而增大,当$x = $1时,$y$有最小值1；

(2)【T4(1)变式】点$A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2)都在抛物线y = -(x - 2)^2 + 1$上,若$x_1 ＞ x_2 ＞ 2$,则$y_1$＜$y_2$。(填“＞”“＜”或“=”)

答案：
(1) ＜ 1 ＞ 1 1 1
(2) ＜

5. (2025·乌鲁木齐模拟)关于二次函数$y = (x - 2)^2 + 3$,下列说法正确的是(B)
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与$x$轴没有交点
C.当$x ＜ 2$时,$y随x$的增大而增大
D.图象的顶点坐标是$(2,-3)$

答案： B

6. (1)(2025·大连模拟)将抛物线$y = -x^2$向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为(B)
A. $y = -(x + 1)^2 + 2$
B. $y = -(x - 1)^2 + 2$
C. $y = -(x + 1)^2 - 2$
D. $y = -(x - 1)^2 - 2$
(2)【T6(1)变式·逆向思维】把抛物线$y = 2x^2平移后得到的抛物线的解析式是y = 2(x + 3)^2 - 1$,则平移的方法是先向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度。

答案：
(1) B
(2) 左 3 下 1

7. 将抛物线$y = a(x - h)^2 + k$先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数$y = -2x^2 + 1$的图象。
(1)$a = $-2,$h = $2,$k = $-2；
(2)说出二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的增减性。
当 $ x＞2 $ 时，y 随 x 的增大而减小，当 $ x＜2 $时, y 随 x 的增大而增大.

答案：
(1) -2 2 -2 解：
(2)当 $ x＞2 $ 时，y 随 x 的增大而减小，当 $ x＜2 $时, y 随 x 的增大而增大.