《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2023北京石景山区期末]如图①,“矩”在古代指两条边成直角的曲尺,它的两边长分别为a,b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳,偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方”.其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图②,从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通过“矩”的另一端E,测得BD= 8m,AB= 1.6m.若“矩”的边EF= a= 30cm,边AF= b= 60cm,则树高CD为(C)

A. 4m
B. 5.3m
C. 5.6m
D. 16m

答案： C

2. [2024漳州龙海区期末]我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,人径四寸,问井深几何”,它的题意是：如图,AB= DE= 5尺,BF= 0.4尺,问井深BD是(D)

A. 1.25尺
B. 56.5尺
C. 6.25尺
D. 57.5尺

答案： D

3. 如图,雨后初晴,一个学生在运动场上玩耍,在他前面2m远处有一块小积水,他看到了旗杆的倒影.若旗杆底端到积水处的距离为40m,该学生的眼部高度为1.5m,则旗杆的高度是30m.

答案： 30

4. 新考向 数学文化 据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO.
[解]∵BA//ED,
∴∠BAO=∠EDF.
又∵∠AOB=∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.
∴BO:EF=OA:FD.
∴BO:2=201:3.
∴BO=134m.

答案： [解]
∵BA//ED,
∴∠BAO=∠EDF.
　又
∵∠AOB=∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.
∴BO:EF=OA:FD.
∴BO:2=201:3.
∴BO=134m.

5. [2023广州增城区期末]小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图,在水平地面点E处放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离AE= 20m.当她与镜子的距离CE= 2.5m时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC= 1.6m,请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角= 反射角).

[解]∵∠FEB=∠FED,FE⊥AC,
　∴∠BEA=∠DEC.
　又∵∠BAE=∠DCE=90°,
　∴△BAE∽△DCE.
　∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AE}{EC}$.
　∵CE=2.5米,DC=1.6米,AE=20米,
∴$\frac{AB}{1.6}$=$\frac{20}{2.5}$.∴AB=12.8米.
　∴大楼AB的高度为12.8米.

答案： [解]
∵∠FEB=∠FED,FE⊥AC,
∴∠BEA=∠DEC.
　又
∵∠BAE=∠DCE=90°,
∴△BAE∽△DCE.
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{AE}{EC}$.
∵CE=2.5米,DC=1.6米,AE=20米,
∴$\frac{AB}{1.6}$=$\frac{20}{2.5}$.
∴AB=12.8米.
∴大楼AB的高度为12.8米.