《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在□ABCD中,点E在CD上,若DE:CE= 1:2,则△CEF与△ABF的周长比为(C)

A. 1:2
B. 1:3
C. 2:3
D. 4:9

答案： C [点拨]
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，CD=AB.
∴易得△CEF∽△ABF.
∵DE:CE=1:2，
∴EC:DC=EC:AB=2:3.
∴△CEF与△ABF的周长比为2:3. 故选C.

2. 如图,点O是五边形ABCDE和五边形$A_1B_1C_1D_1E_1$的位似中心,若$OA:OA_1= 1:3,$则$C_1D_1:CD$等于(C)

A. 1:2
B. 1:3
C. 3:1
D. 4:1

答案： C [点拨]由题意可得五边形ABCDE与五边形A₁B₁C₁D₁E₁的相似比为1:3，
∴CD:C₁D₁=1:3，即C₁D₁:CD=3:1. 故选C.

3. 如图,在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,设△ABC的面积为S₁,△EBD的面积为S₂,则$\frac{S_{2}}{S_{1}}$= (B)

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{7}{8}$

答案： B [点拨]由已知条件可知$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，又因为∠B=∠B，所以△EBD∽△ABC；所以$\frac{S_{\triangle EBD}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，故选B.

4. [2024常州武进区期末]如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,若A点的坐标为(1,2),C点的坐标为(2,4),AB= $\sqrt{5}$,则线段CD的长为(C)

A. 2
B. 4
C. 2$\sqrt{5}$
D. $\sqrt{5}$

答案： C

5. 情境题 生活应用 如图所示为农村一古老的捣碎器,已知支撑柱AB的高为0.5m,踏板DE的长为1.8m,支撑点A到踏脚点D的距离为1m,原来捣头点E着地,现在踏脚点D着地,则捣头点E上升了( )


A. 1.5m
B. 1.2m
C. 1m
D. 0.9m

答案：
D [点拨]示意图如图所示.
　由题意可得AB//EF，
∴∠DAB=∠DEF，∠ABD=∠EFD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△DAB∽△DEF.
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{EF}$，
∴$\frac{1}{1.8}=\frac{0.5}{EF}$.
∴EF=0.9米，即捣头点E上升了0.9米. 故选D.

6. [2024衡水五中模拟]如图,点A,B都在格点上,若BC= $\frac{2\sqrt{13}}{3}$,则AC的长为(B)

A. $\sqrt{13}$
B. $\frac{4\sqrt{13}}{3}$
C. 2$\sqrt{13}$
D. 3$\sqrt{13}$

答案： B

7. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形．∠AOB= ∠BOC= ∠COD=… =∠LOM= 30°．若S△AOB= 1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为(C)

A. ($\frac{4}{3}$)^3
B. ($\frac{4}{3}$)^7
C. ($\frac{4}{3}$)^6
D. ($\frac{3}{4}$)^6

答案： C [点拨]在Rt△AOB中，∠AOB=30°，
∴OB=$\frac{2}{\sqrt{3}}$OA.
　同理OC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$OB，
∴OC=$(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}$OA.
　同理OD=$(\frac{2}{\sqrt{3}})^{3}$OA，……，OG=$(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}$OA.
　由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且相似比为OG:OA=$(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}$:1.
∵S△AOB=1，
∴S△GOH=$[(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}]^{2}=(\frac{4}{3})^{6}$. 故选C.

8. 如图所示的是一个由A,B,C三种相似的直角三角形纸片(C与B,B与A的相似比相同)拼成的矩形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中A,B,C的纸片的面积分别$S_1,S_2,S_3,$若$S_1＞S_2＞S_3,$则这个矩形的面积一定可以表示为( )
$A. 4S_1$
$B. 6S_2$
$C. 4S_2+3S_3$
$D. 3S_1+4S_3$

答案：
A [点拨]如图，由A，B，C三种直角三角形相似，设C与B，B与A的相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk².
　　　　　　　　
∴EH=m(1+k²)，
　FM=$\frac{m(1+k²)}{k}$，
　FK=km(1+k²).
　由题意得km(1+k²)+mk=$\frac{m(1+k²)}{k}$，
　整理得k⁴+k²−1=0，
∴k²=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).
∴S₂=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$S₁，S₃=$(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^{2}$S₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$S₁.
∴S₂+S₃=S₁.
∴这个矩形的面积=2S₁+2(S₂+S₃)=4S₁，
　故选A.

9. [2023鄂州]如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A₁B₁C₁位似,原点O是位似中心,且$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}$= 3.若A(9,3),则A₁的坐标是(3,1)．

答案： (3,1)

10. 如果两个相似三角形的最长边分别是35cm和14cm,它们的周长之差为60cm,那么这两个三角形的周长分别是100cm和40cm．

答案： 100cm和40cm [点拨]
∵两个相似三角形的相似比为$\frac{35}{14}=\frac{5}{2}$，
∴它们的周长比为$\frac{5}{2}$.
　
∴可设较大三角形的周长为5xcm，则较小三角形的周长为2xcm.
∵它们的周长之差为60cm，
∴5x−2x=60，解得x=20.
　
∴这两个三角形的周长分别为100cm和40cm.