《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

8. 母题·教材P52例1 如图,海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只,并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行.缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截.缉私艇从C处到B处需航行$\frac{2}{3}$h.

答案： $\frac{2}{3}$【点拨】设缉私艇从$C$处到$B$处需航行$x$h，
则$AB=60x$km，$BC=75x$km。
根据题意，得$(60x)^2+30^2=(75x)^2$。
解得$x_1=\frac{2}{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}$（不合题意，舍去）。
故缉私艇从$C$处到$B$处需航行$\frac{2}{3}$h。

9. (新视角 动点探究题)如图,在矩形ABCD中,$ AB = 6 \mathrm { cm } $,$ BC = 12 \mathrm { cm } $,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,设移动的时间为ts.求:
(1)当t为多少时,$ \triangle PBQ $的面积等于8cm^2?
(2)当t为多少时,$ \triangle PQD $是以PD为斜边的直角三角形?
(1)2或4
(2)$\frac{3}{2}$或6

答案： 【解】
(1)易得$BP=(6-t)$cm，$BQ=2t$cm。
∵$\triangle PBQ$的面积等于$8cm^2$，
∴$\frac{1}{2}(6-t)\times2t=8$，
整理，得$t^2-6t+8=0$，解得$t_1=2$，$t_2=4$。
∴当$t$为$2$或$4$时，$\triangle PBQ$的面积等于$8cm^2$。
(2)易得$PD^2=t^2+12^2$，$PQ^2=(6-t)^2+(2t)^2$，$QD^2=(12-2t)^2+6^2$。
∵$\triangle PQD$是以$PD$为斜边的直角三角形，
∴$PD^2=PQ^2+QD^2$，即$t^2+12^2=(6-t)^2+(2t)^2+(12-2t)^2+6^2$，
整理得$2t^2-15t+18=0$，解得$t_1=6$，$t_2=\frac{3}{2}$。
∴当$t$为$\frac{3}{2}$或$6$时，$\triangle PQD$是以$PD$为斜边的直角三角形。

10. 母题·教材P58复习题T21 2024·张家界模拟 如图,一轮船以40km/h的速度由西向东航行,在途中点C处接到台风警报,台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得$ BC = 500 \mathrm { km } $,$ BA = 300 \mathrm { km } $.(假定轮船不改变航向).
(1)如果这艘轮船不改变航向,经过11h,轮船与台风中心相距多远?此时,轮船是否受到台风影响?
经过11h，轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}$km，此时，轮船受到台风影响.
(2)如果这艘轮船受到台风影响,请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时?
轮船受到台风影响一共经历了8h.

答案： 【解】
(1)
∵$CB=500$km，$AB=300$km，
∴$AC=\sqrt{CB^2-AB^2}=400$km。
∴$\sqrt{(11\times40-400)^2+(300-11\times20)^2}=40\sqrt{5}$（km）。
∵$40\sqrt{5}＜200$，
∴此时，轮船受到台风影响。
(2)由题意，得$(400-40t)^2+(300-20t)^2=200^2$，
解得$t_1=7$，$t_2=15$。
$15-7=8$(h)，
∴轮船受到台风影响一共经历了$8$h。