《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 12cm,BC= 16cm$,E,F分别是AB,CD上的点,且$AE= DF= 8cm$,两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,试判断当M,N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.

当M,N运动4s或1s时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似.

答案： 【解】当 $ M $，$ N $ 运动 $ 4 \mathrm { ~ s } $ 或 $ 1 \mathrm { ~ s } $ 时能使矩形 $ C F N M $ 与矩形 $ A E F D $ 相似．理由如下：
设运动 $ t \mathrm { ~ s } $ 能使矩形 $ C F N M $ 与矩形 $ A E F D $ 相似．
由题意得 $ \frac { 16 } { 2 t } = \frac { 8 } { 4 } $ 或 $ \frac { 16 } { 4 } = \frac { 8 } { 2 t } $，
解得 $ t = 4 $ 或 $ 1 $．
当 $ t = 4 $ 时，$ N F = 8 \mathrm { ~ c m } $．
$ \because \frac { A D } { N F } = \frac { D F } { F C } = \frac { 2 } { 1 } $，四边形 $ C F N M $ 与四边形 $ A E F D $ 都是矩形，
$ \therefore $ 矩形 $ C F N M $ 与矩形 $ A E F D $ 相似．
同理可证当 $ t = 1 $ 时矩形 $ C F N M $ 与矩形 $ A E F D $ 相似．

11. [2023威海]如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠,使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,$AD= 1$,求CD的长.

($\sqrt{2}+1$)

答案： 【解】设 $ H G = x $．
∵四边形 $ A B C D $ 是矩形，
$ \therefore \angle A = \angle A D H = 90 ^ { \circ } $，$ A D = B C = 1 $．
由折叠得 $ \angle A = \angle D H E = 90 ^ { \circ } $，$ A D = D H = 1 $，$ B C = C G = 1 $，$ \therefore $ 四边形 $ A D H E $ 是正方形．
$ \therefore A D = H E = 1 $．
∵矩形 $ H E F G $ 与原矩形 $ A B C D $ 相似，
$ \therefore \frac { G H } { A D } = \frac { H E } { D C } $．$ \therefore \frac { x } { 1 } = \frac { 1 } { 1 + x + 1 } $，
解得 $ x = \sqrt { 2 } - 1 $ 或 $ x = - \sqrt { 2 } - 1 $．
经检验，$ x = \sqrt { 2 } - 1 $ 或 $ x = - \sqrt { 2 } - 1 $ 都是原方程的根．
$ \because G H ＞ 0 $，$ \therefore G H = \sqrt { 2 } - 1 $．
$ \therefore D C = \sqrt { 2 } + 1 $．

12. 2024·西安未央区月考 2024年国际排联沙滩排球U19世界锦标赛在陕西商洛举行,此次锦标赛期间,政府将某公园的矩形运动场地ABCD进行扩建,扩建后的运动场地为矩形$A'B'C'D'$,如图,$AB= 45m,BC= 30m$.
(1)如图①,图中所形成的两个矩形运动场地ABCD与$A'B'C'D'$相似吗? 请说明理由.
不相似．理由如下：$ \because A B = 45 \mathrm { ~ m } $，$ B C = 30 \mathrm { ~ m } $，$ \therefore A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 55 \mathrm { ~ m } $，$ B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 40 \mathrm { ~ m } $．$ \therefore \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } = \frac { 55 } { 45 } = \frac { 11 } { 9 } $，$ \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } = \frac { 40 } { 30 } = \frac { 4 } { 3 } $．$ \therefore \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } \neq \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } $．$ \therefore $ 所形成的两个矩形运动场地 $ A B C D $ 与 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 不相似．
(2)如图②,当x为多少时,矩形运动场地ABCD与矩形运动场地$A'B'C'D'$相似?
$\frac{15}{2}$

答案： 【解】
(1)不相似．理由如下：
$ \because A B = 45 \mathrm { ~ m } $，$ B C = 30 \mathrm { ~ m } $，
$ \therefore A ^ { \prime } B ^ { \prime } = 55 \mathrm { ~ m } $，$ B ^ { \prime } C ^ { \prime } = 40 \mathrm { ~ m } $．
$ \therefore \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } = \frac { 55 } { 45 } = \frac { 11 } { 9 } $，$ \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } = \frac { 40 } { 30 } = \frac { 4 } { 3 } $．$ \therefore \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } \neq \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } $．
$ \therefore $ 所形成的两个矩形运动场地 $ A B C D $ 与 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 不相似．
(2)
∵矩形 $ A B C D $ 与矩形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 相似，
$ \therefore \frac { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } = \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { B C } $ 或 $ \frac { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } { A B } = \frac { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } { B C } $．$ \therefore \frac { 45 + 2 x } { 45 } = \frac { 30 + 10 } { 30 } $，解得 $ x = \frac { 15 } { 2 } $，或 $ \frac { 30 + 10 } { 45 } = \frac { 45 + 2 x } { 30 } $，解得 $ x = - \frac { 55 } { 6 } $（舍去）．
$ \therefore $ 当 $ x $ 为 $ \frac { 15 } { 2 } $ 时，矩形运动场地 $ A B C D $ 与矩形运动场地 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 相似．