《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

9. 母题·教材P16随堂练习 如图,点M在□ABCD的边AD上,BM= CM,请从以下三个选项①∠1= ∠2;②AM= DM;③∠3= ∠4中,选择一个合适的选项作为已知条件,使□ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是____①或②(填序号);
(2)添加条件后,请证明□ABCD为矩形.

答案：
(1)①或②
(2)[证明]添加①。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC$，$AB = DC$。
∴$∠A + ∠D = 180^{\circ}$。
在$△ABM$和$△DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\∠1 = ∠2\\BM = CM\end{cases}$
∴$△ABM≌△DCM(SAS)$。
∴$∠A = ∠D$。
又
∵$∠A + ∠D = 180^{\circ}$，
∴$∠A = ∠D = 90^{\circ}$。
∴$▱ABCD$为矩形。
添加②。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DC$，$AB = DC$。
∴$∠A + ∠D = 180^{\circ}$。
在$△ABM$和$△DCM$中，$\begin{cases}AB = DC\\BM = CM\\AM = DM\end{cases}$
∴$△ABM≌△DCM(SSS)$。
∴$∠A = ∠D$。
又
∵$∠A + ∠D = 180^{\circ}$，
∴$∠A = ∠D = 90^{\circ}$。
∴$▱ABCD$为矩形。

10. [2023东莞月考] 如图,将□ABCD的边AB延长至点E,使BE= AB,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证:△ABD≌△BEC;
证明在平行四边形ABCD中，$AD = BC$，$AB = CD$，$AB// CD$，则$BE// CD$。
又∵$AB = BE$，
∴$BE = DC$。
∴四边形BECD为平行四边形。
∴$BD = EC$。
在$△ABD$与$△BEC$中，$\begin{cases}AB = BE\\BD = EC\\AD = BC\end{cases}$
∴$△ABD≌△BEC(SSS)$。
(2)若∠BOD= 2∠A,求证:四边形BECD是矩形.
证明由(1)知四边形BECD为平行四边形，则$OD = OE = \frac{1}{2}DE$，$OC = OB = \frac{1}{2}BC$。
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$∠A = ∠BCD$，
即$∠A = ∠OCD$。
又∵$∠BOD = 2∠A$，$∠BOD = ∠OCD + ∠ODC$，
∴$∠OCD = ∠ODC$。∴$OC = OD$。
∴$BC = ED$，
∴平行四边形BECD为矩形。

答案： [证明]
(1)在平行四边形ABCD中，$AD = BC$，$AB = CD$，$AB// CD$，则$BE// CD$。
又
∵$AB = BE$，
∴$BE = DC$。
∴四边形BECD为平行四边形。
∴$BD = EC$。
在$△ABD$与$△BEC$中，$\begin{cases}AB = BE\\BD = EC\\AD = BC\end{cases}$
∴$△ABD≌△BEC(SSS)$。
(2)由
(1)知四边形BECD为平行四边形，则$OD = OE = \frac{1}{2}DE$，$OC = OB = \frac{1}{2}BC$。
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$∠A = ∠BCD$，
即$∠A = ∠OCD$。
又
∵$∠BOD = 2∠A$，$∠BOD = ∠OCD + ∠ODC$，
∴$∠OCD = ∠ODC$。
∴$OC = OD$。
∴$BC = ED$，
∴平行四边形BECD为矩形。

11. [2024揭阳榕城区模拟] 如图,□ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点,连接DE,BF,DF,BE.
(1)求证:BE= DF.
(2)设$\frac{AC}{BD}= k,$当k为何值时,四边形DEBF是矩形? 请说明理由.

(1)[证明]∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BO = OD$，$AO = OC$。
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴$EO = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$。
∴$EO = FO$。
∵$BO = OD$，∴四边形BFDE是平行四边形。
∴$BE = DF$。
(2)[解]当$k = $2时，四边形DEBF是矩形。理由如下：
当$BD = EF$时，平行四边形DEBF是矩形，
由题易知$EF = \frac{1}{2}AC$，∴当$BD = \frac{1}{2}AC$，即$\frac{AC}{BD} = 2$时，平行四边形DEBF是矩形。

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BO = OD$，$AO = OC$。
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴$EO = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$。
∴$EO = FO$。
∵$BO = OD$，
∴四边形BFDE是平行四边形。
∴$BE = DF$。
(2)[解]当$k = 2$时，四边形DEBF是矩形。理由如下：
当$BD = EF$时，平行四边形DEBF是矩形，
由题易知$EF = \frac{1}{2}AC$，
∴当$BD = \frac{1}{2}AC$，即$\frac{AC}{BD} = 2$时，平行四边形DEBF是矩形。

12. 新视角 动点探究题 如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE= OF;
(2)若CE= 12,CF= 9,求OC的长;$\frac{15}{2}$
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形? 并说明理由.AC的中点

答案：
(1)[证明]
∵CE平分$∠ACB$，
∴$∠ACE = ∠ECB$。
∵$MN// BC$，
∴$∠ECB = ∠OEC$。
∴$∠ACE = ∠OEC$。
∴$OE = OC$。
同理可得$OC = OF$，
∴$OE = OF$。
(2)[解]
∵CE，CF分别平分$∠ACB$和$∠ACD$，
∴$∠ACE + ∠ACF = \frac{1}{2}∠ACB + \frac{1}{2}∠ACD = \frac{1}{2}∠BCD = 90^{\circ}$。即$∠ECF = 90^{\circ}$。
∴在$Rt△ECF$中，$EF = \sqrt{CE^{2} + CF^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15$。
又
∵$OE = OF$，
∴$OC = \frac{1}{2}EF = \frac{15}{2}$。
(3)[解]当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当O为AC的中点时，$OA = OC$。
又
∵$OE = OF$，
∴四边形AECF为平行四边形。
由
(2)知$∠ECF = 90^{\circ}$，
∴四边形AECF为矩形。