《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 情境题·敬老爱老 “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德. 小刚、小强计划利用暑假从A,B,C三处养老服务中心中随机选择一处参加志愿服务活动,则两人恰好选到同一处的概率是(B)
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{2}{9}$

答案： B

2. 新趋势·学科内综合 设圆锥的半径为r,高为h. 下面有几个圆锥:①$r= \sqrt{2},h= \frac{1}{2}$;②$r= \frac{1}{3},h= 3$;③$r= \frac{1}{2},h= 4$;④$r= 1,h= 1$;从上面圆锥中任取两个,则两者体积相同的概率是(D)
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： D

3. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出红色,另一个转盘转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是(C)

A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： C

4. [2024武汉模拟] 看了《田忌赛马》的故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马综合指标数如表所示,每匹马只赛一场,综合指标的两数相比,大数为胜,三场两胜则赢,已知齐王的三匹马出场顺序为6,4,2. 若田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为(B)
|马匹等级|下等马|中等马|上等马|
|----|----|----|----|
|齐王|2|4|6|
|田忌|1|3|5|
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{1}{12}$

答案： B 【点拨】由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
|齐王的马|上中下|上中下|上中下|上中下|上中下|上中下|
|----|----|----|----|----|----|----|
|田忌的马|上中下|上下中|中上下|中下上|下中上|下中上|
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为$\frac {1}{6}$．
故选 B．

5. 有两组卡片,卡片除正面写有不同字母外其他都相同. 第一组卡片上写有a,b,b,第二组卡片上写有a,b,b,c,现将两组卡片背面朝上分别洗匀,求从每组卡片中各随机抽取一张,都抽到b的概率是(B)
A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{4}{9}$

答案： B 【点拨】
由表可知，共有12种等可能的结果，其中从每组卡片中各随机抽取一张，都抽到b的结果有4种，
∴从每组卡片中各随机抽取一张，都抽到b的概率为$\frac {4}{12}=\frac {1}{3}$．

6. 新趋势·跨学科 如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常. 随机闭合开关$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$中的两个,能让小灯泡发光的概率是( )

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{3}{4}$

答案：
A 【点拨】画树状图如图：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有6种，
∴能让小灯泡发光的概率为$\frac {6}{12}=\frac {1}{2}$．

7. 有三张正面分别写着2,3,4,其他看上去无差别的卡片,从中随机抽取一张后,放回并混合在一起,再随机抽取一张,两次取出的数字之和是奇数的概率为$\frac {4}{9}$.

答案： $\frac {4}{9}$

8. [2023广州] 甲、乙两名同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A,B,C,D),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍C的概率;
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面朝上或全部反面朝上,那么甲先发球,否则乙先发球. 这个约定是否公平? 为什么?

答案：
【解】（1）画树状图如图：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C的结果有3种，
∴$P$(乙选中球拍$C)=\frac {3}{12}=\frac {1}{4}$．
（2）这个约定公平．理由如下：
画树状图如图：

由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面朝上或全部反面朝上的结果有2种，
∴$P$(甲先发球)$=\frac {2}{4}=\frac {1}{2}$．
∴$P$(乙先发球)$=1-\frac {1}{2}=\frac {1}{2}$．
∵$P$(甲先发球)$=P$(乙先发球)，
∴这个约定公平．