《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 一元二次方程 $ 3x^{2}-6x - 7 = 0 $ 的二次项系数是3,常数项是-7。

答案： $3$；$-7$

2. 易错题 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m + 2)x^{2}+x + m^{2}-4 = 0 $ 有一根为 $ 0 $,则 $ m $ 的值为(A)
A. $ 2 $
B. $ -2 $
C. $ 2 $ 或 $ -2 $
D. $ \frac{1}{2} $

答案： A 【点拨】由题意，得$\begin{cases}m + 2\neq0,\\(m + 2)\times0^{2}+0 + m^{2}-4 = 0,\end{cases}$
解得$m = 2$，故选 A.

3. 母题·教材P56复习题T2 2024·连云港实验学校月考 解方程：
(1) $ 3(x - 1)^{2}= 12 $；$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$
(2) $ x^{2}+4x - 2 = 0 $；(配方法)$x_{1}=\sqrt{6}-2$，$x_{2}=-\sqrt{6}-2$
(3) $ 3x(x - 2)= x - 2 $；$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=2$
(4) $ (x - 1)(x + 3)= 12 $。$x_{1}=3$，$x_{2}=-5$

答案： 【解】
(1)$3(x - 1)^{2}=12$，
$\therefore(x - 1)^{2}=4$.
$\therefore x - 1=\pm2$.
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$.
(2)$x^{2}+4x - 2 = 0$，
$\therefore x^{2}+4x = 2$.
$\therefore x^{2}+4x + 4 = 2 + 4$.
$\therefore(x + 2)^{2}=6$.
$\therefore x + 2=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore x_{1}=\sqrt{6}-2$，$x_{2}=-\sqrt{6}-2$.
(3)$3x(x - 2)=x - 2$，
$\therefore(3x - 1)(x - 2)=0$.
$\therefore x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=2$.
(4)$(x - 1)(x + 3)=12$，
$\therefore x^{2}+2x - 15 = 0$.
$\therefore(x + 5)(x - 3)=0$.
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-5$.

4. 母题·教材P56复习题T4 2023·广元 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-3x+\frac{3}{2}= 0 $ 根的情况,下列说法中正确的是(C)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

答案： C

5. [2023眉山] 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + m - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A. $ m \lt \frac{3}{2} $
B. $ m \gt 3 $
C. $ m \leq 3 $
D. $ m \lt 3 $

答案： D

6. [2023广州] 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2k - 2)x + k^{2}-1 = 0 $ 有两个实数根,则 $ \sqrt{(k - 1)^{2}}-(\sqrt{2 - k})^{2} $ 的化简结果是(A)
A. $ -1 $
B. $ 1 $
C. $ -1 - 2k $
D. $ 2k - 3 $

答案： A 【点拨】由题意得$2 - k\geq0$，$\therefore k\leq2$.
$\because$关于$x$的方程$x^{2}-(2k - 2)x + k^{2}-1 = 0$有两个实数根，
$\therefore\Delta=[-(2k - 2)]^{2}-4\times1\times(k^{2}-1)\geq0$，
整理，得$-8k + 8\geq0$.
$\therefore k\leq1$.
综上，$k$的取值范围为$k\leq1$.
$\therefore k - 1\leq0$.
$\therefore\sqrt{(k - 1)^{2}}-(\sqrt{2 - k})^{2}=-(k - 1)-(2 - k)=-1$.
故选 A.

7. 新考法·整体代入法 2023·潮州模拟 设 $ \alpha,\beta $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+x - 2023 = 0 $ 的两个实数根,则 $ \alpha^{2}+2\alpha+\beta = $(B)
A. $ 2021 $
B. $ 2022 $
C. $ 2023 $
D. $ 2024 $

答案： B 【点拨】$\because\alpha$，$\beta$是关于$x$的方程$x^{2}+x - 2023 = 0$的两个实数根，
$\therefore\alpha^{2}+\alpha - 2023 = 0$，$\alpha+\beta=-1$.
$\therefore\alpha^{2}+\alpha = 2023$.
$\therefore\alpha^{2}+2\alpha+\beta=\alpha^{2}+\alpha+\alpha+\beta = 2023 - 1 = 2022$，故选 B.

8. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}+4mx + m = 0 $ 有两个不同的实数根 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \frac{3}{16} $,则 $ m = $$-\frac{1}{8}$。

答案： $-\frac{1}{8}$ 【点拨】根据题意，得$x_{1}+x_{2}=-2m$，$x_{1}x_{2}=\frac{m}{2}$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{3}{16}$，
$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=\frac{3}{16}$.
$\therefore4m^{2}-m=\frac{3}{16}$.
$\therefore m_{1}=-\frac{1}{8}$，$m_{2}=\frac{3}{8}$.
$\because\Delta = 16m^{2}-8m＞0$，
$\therefore m=\frac{3}{8}$不合题意，舍去.
$\therefore m=-\frac{1}{8}$.

9. [2024惠州模拟] 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}-2mx + m - 2 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $。
(1)试确定实数 $ m $ 的取值范围；
$m\geq\frac{2}{3}$且$m\neq1$
(2)若 $ (x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}= 17 $,求 $ m $ 的值。
$\frac{3}{2}$

答案： 【解】
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}-2mx + m - 2 = 0$有两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$，
$\therefore\Delta=(-2m)^{2}-4(m - 1)(m - 2)\geq0$，且$m - 1\neq0$.
$\therefore m\geq\frac{2}{3}$且$m\neq1$.
$\therefore m$的取值范围为$m\geq\frac{2}{3}$且$m\neq1$.
(2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2m}{m - 1}=\frac{2m}{m - 1}$，$x_{1}x_{2}=\frac{m - 2}{m - 1}$.
$\because(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$，
$\therefore2(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}-13 = 0$.
$\therefore\frac{4m}{m - 1}-\frac{m - 2}{m - 1}-13 = 0$，解得$m=\frac{3}{2}$.
经检验，$m=\frac{3}{2}$是原方程的解，
$\therefore m$的值为$\frac{3}{2}$.