《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 下列方程中,一定是一元二次方程的是(D)
A. $\frac {1}{y^{2}}+y= 2$
B. $x(x-1)= x^{2}-3x-2$
C. $ax^{2}+bx+c= 0$
D. $2x^{2}-x= 0$

答案： D【点拨】A. 方程中含有分式，不是一元二次方程；
B. 方程化简后是一元一次方程，不是一元二次方程；C. 当
$ a = 0 $时，方程不是一元二次方程；D. 符合一元二次方程的
特征，是一元二次方程. 故选 D.

2. [2023西安交大附中期中]一元二次方程$x^{2}-8x-2= 0$,配方后可变形为(A)
A. $(x-4)^{2}= 18$
B. $(x-4)^{2}= 14$
C. $(x-8)^{2}= 64$
D. $(x-4)^{2}= 1$

答案： A【点拨】方程移项得$ x^{2}-8x=2 $，配方得$ x^{2}-8x + $
$ 16=2 + 16 $，即$ (x - 4)^{2}=18 $。故选 A.

3. 解方程$x-\sqrt {2}= (\sqrt {2}-x)^{2}$,最合适的方法是(B)
A. 配方法
B. 因式分解法
C. 公式法
D. 直接开平方法

答案： B

4. 母题 教材P43习题T1 一元二次方程$2x^{2}+x-1= 0$的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A【点拨】$ \because \Delta =1^{2}-4×2×(-1)=9＞0 $，$ \therefore $方程有两
个不相等的实数根，故选 A.

5. [2024深圳模拟]“立身以立学为先,立学以读书为本.”为了鼓励全民阅读,某校图书馆开展阅读活动,自阅读活动开展以来,进馆阅读人次逐月增加,第一个月进馆200人次,前三个月累计进馆728人次,若进馆人次的月增长率相同,求进馆人次的月增长率,设进馆人次的月增长率为$x$,依题意可列方程为(D)
A. $200(1+x)^{2}= 728$
B. $200(1+x)+200(1+x)^{2}= 728$
C. $200(1+x+x^{2})= 728$
D. $200+200(1+x)+200(1+x)^{2}= 728$

答案： D

6. 情境题 地域文化 “房子半边盖”是陕西十大怪之一,这种房子的结构是“人”字结构房屋的一半.如图所示的是这种房子的屋架,$∠ACB= 90^{\circ }$,$D是AB$的中点,$AC= a\ m$,$BC= b\ m$,若$a$,$b恰好是方程x^{2}-x= 4(x-1)$的两个实数根,则$CD$的长是(D)

A. $1\ m$
B. $4\ m$
C. $\sqrt {17}\ m$
D. $\frac {\sqrt {17}}{2}\ m$

答案： D

7. 若关于$x的方程x^{2}+2x-3= 0与\frac {2}{x+3}= \frac {1}{x-a}$有一个解相同,则$a$的值为(C)
A. $1$
B. $1或-3$
C. $-1$
D. $-1或3$

答案： C【点拨】解方程$ x^{2}+2x - 3=0 $，得$ x_{1}=1,x_{2}=-3 $。由
分式方程可知$ x=-3 $不是分式方程的解. 把$ x = 1 $代入分
式方程，得$ \frac{2}{1 + 3}=\frac{1}{1 - a} $，解得$ a=-1 $。经检验，$ a=-1 $是分
式方程$ \frac{2}{1 + 3}=\frac{1}{1 - a} $的解，$ \therefore a=-1 $，故选 C.

8. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如$x^{2}-2bx+4c^{2}= 0(b＞2c＞0)$的方程根的图形解法：如图,画$Rt\triangle ABC$,使$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 2c$,$AB= b$,以点$B$为圆心,$BC$为半径画圆,交射线$AB于点D$,$E$,则该方程较大的根是(B)

A. $CE$的长度
B. $AE$的长度
C. $DE$的长度
D. $CD$的长度

答案： B【点拨】$ \because x^{2}-2bx + 4c^{2}=0 $，
$ \therefore x^{2}-2bx=-4c^{2} $，则$ x^{2}-2bx + b^{2}=b^{2}-4c^{2} $，
$ \therefore (x - b)^{2}=b^{2}-4c^{2} $，
$ \therefore x - b=\pm \sqrt{b^{2}-4c^{2}} $，
$ \therefore x_{1}=b + \sqrt{b^{2}-4c^{2}},x_{2}=b - \sqrt{b^{2}-4c^{2}} $，
在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB = 90^{\circ},AC = 2c,AB = b $，
$ \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{b^{2}-4c^{2}} $，
$ \therefore $方程较大的根为$ AB + BC = AB + BE = AE $的长度，
故选 B.

9. [2024天津一中月考]已知关于$x的方程(m-1)\cdot x^{m^{2}+1}+2x-3= 0$是一元二次方程,则$m$的值为-1.

答案： -1

10. 若关于$x的方程x^{2}+x+c= 0$有两个相等的实数根,则实数$c$的值为$\frac{1}{4}$.

答案： $ \frac{1}{4} $【点拨】由题意得$ 1 - 4c = 0 $，则$ c=\frac{1}{4} $。

11. 新考法 整体代入法 已知$m是一元二次方程x^{2}+x-6= 0$的一个根,则代数式$m^{3}+2m^{2}-5m+6$的值等于______12.

答案： 12【点拨】$ \because m $是一元二次方程$ x^{2}+x - 6=0 $的一个
根，$ \therefore m^{2}+m - 6=0 $，即$ m^{2}+m = 6 $。
$ \therefore m^{3}+2m^{2}-5m + 6=m^{3}+m^{2}+m^{2}-5m + 6=m(m^{2}+ $
$ m)+m^{2}-5m + 6=6m + m^{2}-5m + 6=m^{2}+m + 6=6 + $
$ 6=12 $。

12. 新考法 数形结合法 一个直角三角形的两条直角边之差是$2\ cm$,面积是$24\ cm^{2}$,则较长的直角边的长是______8 cm.

答案： 8 cm【点拨】设较长的直角边的长为$ x $cm. 由题意可得
$ \frac{1}{2}x(x - 2)=24 $，解得$ x_{1}=8,x_{2}=-6 $(舍去). 故较长的直角
边的长是8 cm.