《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. 如图,将边长为$2\sqrt {3}$的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转$30^{\circ }后得到正方形AB'C'D'$,则图中阴影部分的面积为______12−4√3．

答案： 12−4√3

11. [2023重庆改编]如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,$∠EAF= 45^{\circ }$．若$∠BAE= \alpha $,则$∠FEC$一定等于______2α(用含α的式子表示)．

答案： 2α

12. 如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且$DE= BF$,连接AE,AF,EF.
(1)求证：$\triangle ADE≌\triangle ABF$；
(2)若$BC= 8$,$DE= 6$,求$\triangle AEF$的面积．
(1)[证明]∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
　　而F是CB的延长线上的点，
　　∴∠ABF=90°=∠D.
　　在△ADE和△ABF中，{AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF}
　　∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)[解]∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
　　∴AD=BC=8.
　　在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
　　∴AE=√(AD²+DE² )=10.
　　由(1)知△ADE≌△ABF，
　　∴AE=AF，∠BAF=∠DAE.
　　∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠EAF=∠BAD=90°.
　　∴△AEF的面积=1/2 AE²=1/2 ×100=50.

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°.
　　而F是CB的延长线上的点，
　
∴∠ABF=90°=∠D.
　　在△ADE和△ABF中，{AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF}
　
∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)[解]
∵四边形ABCD是正方形，BC=8，
　
∴AD=BC=8.
　　在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
　
∴AE=√(AD²+DE² )=10.
　　由
(1)知△ADE≌△ABF，
　
∴AE=AF，∠BAF=∠DAE.
　
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠EAF=∠BAD=90°.
　
∴△AEF的面积=1/2 AE²=1/2 ×100=50.

13. 新考法旋转对称法如图①,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与点C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.
(1)猜想图①中线段BG,线段DE的数量关系及所在直线的位置关系,并说明理由；
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图②、图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并选取图②证明你的判断．

答案：
[解]
(1)BG=DE，BG⊥DE.理由如下:
　　如图①，延长BG交DE于点H.
　
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
　
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE.
　
∴△BCG≌△DCE.
　
∴BG=DE，∠1=∠2.
　
∵∠1+∠CGB=90°，∠CGB=∠DGH，
　
∴∠2+∠DGH=90°.
　
∴∠DHG=90°.
　
∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
　　　　　 　　　
(2)BG=DE，BG⊥DE仍然成立.
　证明:如图②，设BG与DE相交于点O，DC与BG相交于点H.
∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°.
∴∠BCG=∠DCE.
∴△BCG≌△DCE.
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE.
　又
∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°.
∴∠DOH=90°.
∴BG⊥DE.