《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 下列四个菱形中分别标注了部分数据,根据所标数据,可以判断菱形是正方形的是 (B)

答案： B

2. [2024安庆大观区模拟]如图,已知$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,下列判断中错误的是 (A)

A. 若$∠BAC= 60^{\circ }$,则$//ogram ABCD$为菱形
B. 若$OA= OB$,则$//ogram ABCD$为矩形
C. 若AC平分$∠BAD$,则$//ogram ABCD$为菱形
D. 若$∠BAC= ∠ABD= 45^{\circ }$,则$//ogram ABCD$为正方形

答案： A

3. 新视角 动点探究题 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时从O点出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E,F分别到达A,C两点时停止运动),设运动时间为t s.连接DE,DF,BE,BF,已知$\triangle ABD$是边长为6 cm的等边三角形,当$t= $3时,四边形DEBF为正方形.

答案： 3 【点拨】由题意得 $ OE = OF = t \text{ cm} $，
$ \therefore EF = 2t \text{ cm} $。
$ \because $ 菱形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，
$ \therefore OB = OD $，$ AC \perp BD $。
$ \therefore $ 四边形 $ DEBF $ 是菱形。
$ \therefore $ 当 $ EF = BD $ 时，四边形 $ DEBF $ 是正方形。
$ \because \triangle ABD $ 是边长为 $ 6 \text{ cm} $ 的等边三角形，
$ \therefore BD = 6 \text{ cm} $。
$ \because EF = BD $，$ \therefore 2t = 6 $，解得 $ t = 3 $。
$ \therefore $ 当 $ t = 3 $ 时，四边形 $ DEBF $ 是正方形。

4. 如图,正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上,延长CD到H,使$DH= CE$,K在BC边上,且$BK= CE$,连接AK,KF,FH,HA.求证:四边形AKFH为正方形.
【证明】$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ CEFG $ 都是正方形，
$ \therefore AB = AD = DC = BC $，$ EC = FG = EF $，易得 $ \angle ADH = \angle HGF = \angle CEF = \angle ABK = \angle BAD = 90^{\circ} $。
$ \because DH = CE = BK $，
$ \therefore HG = EK = BC = AD = AB $。
在 $ \triangle ADH $ 和 $ \triangle ABK $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AD = AB, } \\ { \angle ADH = \angle ABK, } \\ { DH = BK, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADH \cong \triangle ABK ( \text { SAS } ) $。
$ \therefore \angle HAD = \angle BAK $。
$ \therefore $ 易得 $ \angle HAK = 90^{\circ} $。
同理可得 $ \triangle HGF \cong \triangle KEF \cong \triangle ABK \cong \triangle ADH $。
$ \therefore AH = AK = HF = FK $。
$ \therefore $ 四边形 $ AKFH $ 是正方形。

答案： 【证明】$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ CEFG $ 都是正方形，
$ \therefore AB = AD = DC = BC $，$ EC = FG = EF $，易得 $ \angle ADH = \angle HGF = \angle CEF = \angle ABK = \angle BAD = 90^{\circ} $。
$ \because DH = CE = BK $，
$ \therefore HG = EK = BC = AD = AB $。
在 $ \triangle ADH $ 和 $ \triangle ABK $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AD = AB, } \\ { \angle ADH = \angle ABK, } \\ { DH = BK, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADH \cong \triangle ABK ( \text { SAS } ) $。
$ \therefore \angle HAD = \angle BAK $。
$ \therefore $ 易得 $ \angle HAK = 90^{\circ} $。
同理可得 $ \triangle HGF \cong \triangle KEF \cong \triangle ABK \cong \triangle ADH $。
$ \therefore AH = AK = HF = FK $。
$ \therefore $ 四边形 $ AKFH $ 是正方形。

5. 母题 教材P17例4 已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD⊥BC$,垂足为点D,AN是$\triangle ABC外角∠CAM$的平分线,$CE⊥AN$,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当$\triangle ABC$满足____$\angle BAC = 90^{\circ}$时(添加一个条件),四边形ADCE是正方形,并证明.

答案：
(1) 【证明】$ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD \perp BC $，
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD = \frac { 1 } { 2 } \angle BAC $。
$ \because AN $ 是 $ \angle CAM $ 的平分线，
$ \therefore \angle MAE = \angle CAE = \frac { 1 } { 2 } \angle CAM $。
$ \therefore \angle DAE = \angle CAD + \angle CAE = \frac { 1 } { 2 } ( \angle BAC + \angle CAM ) = \frac { 1 } { 2 } \times 180 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $。
又 $ \because AD \perp BC $，$ CE \perp AN $，
$ \therefore \angle ADC = \angle CEA = 90 ^ { \circ } $。
$ \therefore $ 四边形 $ ADCE $ 为矩形。
(2) 【解】$ \angle BAC = 90 ^ { \circ } $（答案不唯一）
证明如下：
$ \because AB = AC $，$ \angle BAC = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACB = \angle B = 45 ^ { \circ } $。
$ \because AD \perp BC $，
$ \therefore \angle CAD = \angle ACD = 45 ^ { \circ } $。
$ \therefore DC = AD $。
$ \because $ 四边形 $ ADCE $ 为矩形，
$ \therefore $ 矩形 $ ADCE $ 是正方形，
故当 $ \angle BAC = 90 ^ { \circ } $ 时，四边形 $ ADCE $ 是正方形。

6. 易错题 如图,在四边形ABCD中,$AB= AD,BC= DC$,AC,BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形,则以下说法错误的是 (A)

A. 添加“$∠BAD= 90^{\circ }$”,则四边形ABCD是矩形
B. 添加“$AB// CD$”,则四边形ABCD是菱形
C. 添加“$OA= OC$”,则四边形ABCD是菱形
D. 添加“$∠ABC= ∠BCD= 90^{\circ }$”,则四边形ABCD是正方形

答案： A