《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

13. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m= 0$.
(1)求证:无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根;
证明：∵$\Delta = [-(2m + 1)]^{2} - 4(m^{2} + m)$
$= 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 4m$
$= 1 ＞ 0$，
∴无论$m$取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为$a,b$,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求$m$的值.
解：∵该方程的两个实数根为$a$，$b$，
∴$a + b = 2m + 1$，$ab = m^{2} + m$.
∵$(2a + b)(a + 2b)$
$= 2a^{2} + 4ab + ab + 2b^{2}$
$= 2(a^{2} + 2ab + b^{2}) + ab$
$= 2(a + b)^{2} + ab$，
∴$2(a + b)^{2} + ab = 20$.
∴$2(2m + 1)^{2} + m^{2} + m = 20$.
整理，得$m^{2} + m - 2 = 0$，
解得$m_{1} = -2$，$m_{2} = 1$.
∴$m$的值为-2或1.

答案：
(1)【证明】
∵$\Delta = [-(2m + 1)]^{2} - 4(m^{2} + m)$
$= 4m^{2} + 4m + 1 - 4m^{2} - 4m$
$= 1 ＞ 0$，
∴无论$m$取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)【解】
∵该方程的两个实数根为$a$，$b$，
∴$a + b = 2m + 1$，$ab = m^{2} + m$.
∵$(2a + b)(a + 2b)$
$= 2a^{2} + 4ab + ab + 2b^{2}$
$= 2(a^{2} + 2ab + b^{2}) + ab$
$= 2(a + b)^{2} + ab$，
∴$2(a + b)^{2} + ab = 20$.
∴$2(2m + 1)^{2} + m^{2} + m = 20$.
整理，得$m^{2} + m - 2 = 0$，
解得$m_{1} = -2$，$m_{2} = 1$.
∴$m$的值为-2或1.

14. [2024衡阳珠晖区模拟]已知:关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2= 0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)若$\triangle ABC的两边AB,AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC$的长为5,
①当$k$为何值时,$\triangle ABC$是等腰三角形?
②当$k$为何值时,$\triangle ABC是以BC$为斜边的直角三角形?

答案：
(1)【证明】
∵$\Delta = (2k + 3)^{2} - 4×1×(k^{2} + 3k + 2) = 4k^{2} + 12k + 9 - 4k^{2} - 12k - 8 = 1 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)【解】①$x^{2} - (2k + 3)x + k^{2} + 3k + 2 = 0$，
∴$(x - k - 1)(x - k - 2) = 0$，
解得$x = k + 1$或$x = k + 2$.
即$\triangle ABC$的三边为5，$k + 1$和$k + 2$，
当$k + 1 = 5$时，$k = 4$；
当$k + 2 = 5$时，$k = 3$.
∴当$k$为3或4时，$\triangle ABC$是等腰三角形.
②
∵$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，
∴$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$.
∴$(k + 1)^{2} + (k + 2)^{2} = 5^{2}$，
解得$k = 2$或$k = -5$（舍去）.
∴当$k$为2时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形.

15. 新考法 阅读类比法 阅读材料:
材料1:关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个实数根x_{1},x_{2}和系数a,b,c$有如下关系:$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$.
材料2:已知一元二次方程$x^{2}-x-1= 0的两个实数根分别为m,n$,求$m^{2}n+mn^{2}$的值.
解:$\because m,n是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$的两个实数根,
$\therefore m+n= 1,mn= -1$.
则$m^{2}n+mn^{2}= mn(m+n)= -1×1= -1$.
根据上述材料,结合你所学的知识,回答下列问题:
(1)应用:一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $$-\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}= $$-\frac{1}{2}$;
(2)类比:已知一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0的两个实数根为m,n$,求$m^{2}+n^{2}$的值;
(3)提升:已知实数$s,t满足2s^{2}+3s-1= 0,2t^{2}+3t-1= 0且s≠t$,求$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}$的值.

答案： 【解】
(1)$-\frac{3}{2}$；$-\frac{1}{2}$
(2)
∵一元二次方程$2x^{2} + 3x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m$，$n$，
∴$m + n = -\frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$.
∴$m^{2} + n^{2} = (m + n)^{2} - 2mn = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
(3)
∵实数$s$，$t$满足$2s^{2} + 3s - 1 = 0$，$2t^{2} + 3t - 1 = 0$且$s \neq t$，
∴$s$，$t$是一元二次方程$2x^{2} + 3x - 1 = 0$的两个实数根.
∴$s + t = -\frac{3}{2}$，$st = -\frac{1}{2}$.
∵$(t - s)^{2} = (t + s)^{2} - 4st = (-\frac{3}{2})^{2} - 4×(-\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$，
∴$t - s = \pm\frac{\sqrt{17}}{2}$.
∴$\frac{1}{s} - \frac{1}{t} = \frac{t - s}{st} = \frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{17}$.