《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

5. 如图所示,已知梯形ABCD中,$AB// DC$,AC,BD相交于点O,$BE// AD$交AC的延长线于点E.求证:$OA^{2}= OC\cdot OE$.

【证明】∵AB//CD，
∴∠CDO=∠ABO，∠OCD=∠OAB。
∴△AOB∽△COD。
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OB}{OD}$。
∵BE//AD，
∴∠ODA=∠OBE，∠OAD=∠OEB。
∴△AOD∽△EOB。
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OE}{OA}$。
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$。
∴OA²=OC·OE。

答案： 【证明】
∵AB//CD，
∴∠CDO=∠ABO，∠OCD=∠OAB。
∴△AOB∽△COD。
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OB}{OD}$。
∵BE//AD，
∴∠ODA=∠OBE，∠OAD=∠OEB。
∴△AOD∽△EOB。
∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OE}{OA}$。
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$。
∴OA²=OC·OE。

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AD\perp BC$于点D,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:$\frac{AB}{AC}= \frac{DF}{AF}$.

【证明】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，点E是斜边AC的中点，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$AC。∴∠C=∠1，
又∵∠1=∠2，∴∠C=∠2。
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C=∠2。
又∵∠F=∠F，∴△FDB∽△FAD。
∴$\frac{DB}{AD}$=$\frac{DF}{AF}$。
∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD。
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$。
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DF}{AF}$。
点技巧：当所证比例式中的线段所在两个三角形不相似时，需要找到中间比$\frac{BD}{AD}$。

答案： 【证明】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，点E是斜边AC的中点，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$AC。
∴∠C=∠1，
又
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2。
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C=∠2。
又
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAD。
∴$\frac{DB}{AD}$=$\frac{DF}{AF}$。
∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD。
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$。
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DF}{AF}$。
点技巧：当所证比例式中的线段所在两个三角形不相似时，需要找到中间比。

7. [2023常州天宁区期中]如图,AD是$\triangle ABC$的高,$DE\perp AB$于E,$DF\perp AC$于F.求证:$AE\cdot AB= AF\cdot AC$.

【证明】∵AD是△ABC的高，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ADB=∠ADC=90°。
∵∠BAD=∠EAD，∴△AED∽△ADB。
∴$\frac{EA}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$。∴AD²=AE·AB。
同理可得AD²=AF·AC，
∴AE·AB=AF·AC。

答案： 【证明】
∵AD是△ABC的高，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ADB=∠ADC=90°。
∵∠BAD=∠EAD，
∴△AED∽△ADB。
∴$\frac{EA}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$。
∴AD²=AE·AB。
同理可得AD²=AF·AC，
∴AE·AB=AF·AC。

8. 如图,CE是$Rt\triangle ABC$斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,过B作$BG\perp AP$于G,交CE于D,求证:$CE^{2}= PE\cdot DE$.

答案：
【证明】如图。
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠CEA=∠CEB=90°。
∴∠ACE+∠CAE=90°。

∴∠CAE=∠BCE。
∴Rt△ACE∽Rt△CBE。
∴$\frac{CE}{BE}$=$\frac{AE}{CE}$。
∴CE²=AE·BE。
∵BG⊥AP，
∴∠DGP=90°=∠DEB。
又
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3。
又
∵∠DEB=∠AEP，
∴△AEP∽△DEB。
∴$\frac{PE}{BE}$=$\frac{AE}{DE}$。
∴PE·DE=AE·BE。
∴CE²=PE·DE。