《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2023朔州期末] 两个矩形的位置如图所示,若$∠1= 115^{\circ }$,则$∠2= $ (D)

A.$50^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$

答案： D

2. 2023·株洲 一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知$∠ACB= 90^{\circ }$,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则$CD= $ (B)

A. 3.5 cm
B. 3 cm
C. 4.5 cm
D. 6 cm

答案： B

3. [2023上海黄浦区期中] 如图,在矩形ABCD中,$AB= 1,AD= 2$,点M在边BC上,若MA平分$∠DMB$,则CM的长是 (D)

A.$3\sqrt {2}$
B. 1
C.$2\sqrt {5}$
D.$\sqrt {3}$

答案： D

4. 2023·舟山模拟 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证,根据图形可知他得出的这个推论指 (D)

A.$S_{矩形ABMN}= S_{矩形MNDC}$
B.$S_{矩形EBMF}= S_{矩形AEFN}$
C.$S_{矩形AEFN}= S_{矩形MNDC}$
D.$S_{矩形EBMF}= S_{矩形NFGD}$

答案： D

5. 情境题 振兴乡村旅游业 明明的家乡有一片矩形“油菜花田”,政府决定在矩形油菜花田上建两条如图所示的小路AC,BD,方便游客(不考虑路宽),已知$AB= 30m$,BC= 40m,那么两条小路的总长为100 m.

答案： 100 m

6. 如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,$AE= AD,DF⊥AE$,垂足为F.
(1)求证:$DF= AB$.
证明：在矩形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB = \angle DAF$。
$\because DF \perp AE$，$\therefore \angle DFA = 90^{\circ} = \angle B$。
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle EAB$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DFA = \angle B, \\ \angle DAF = \angle AEB, \\ AD = EA, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle EAB$(AAS)。
$\therefore DF = AB$。
(2)若$∠FDC= 30^{\circ }$,且$AB= 4$,求AD的长.
解：$\because \angle ADF + \angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle DAF + \angle ADF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF = \angle FDC = 30^{\circ}$。
$\therefore AD = 2DF$。
又 $\because DF = AB$，$\therefore AD = 2AB =$8。

答案：
(1)【证明】在矩形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB = \angle DAF$。
$\because DF \perp AE$，$\therefore \angle DFA = 90^{\circ} = \angle B$。
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle EAB$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DFA = \angle B, \\ \angle DAF = \angle AEB, \\ AD = EA, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle EAB(AAS)$。
$\therefore DF = AB$。
(2)【解】$\because \angle ADF + \angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle DAF + \angle ADF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF = \angle FDC = 30^{\circ}$。
$\therefore AD = 2DF$。
又 $\because DF = AB$，$\therefore AD = 2AB = 8$。

7. 易错题 如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离 (B)

A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 无法判断

答案： B

8. 新考法 折叠法 如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上,GH为折痕,已知$AB= 6,BC= 10$.当折痕GH最长时,线段BH的长为6.8.

答案： 6.8 【点拨】在 $E$ 点从 $C$ 点移动到 $D$ 点的过程中，$\angle CHE$ 变大而 $\angle GHB$ 变小，纸片宽度不变，故当 $E$ 点与 $D$ 点重合时，$GH$ 最长。
设 $BH = x$，则 $CH = 10 - x$，$HE = BH = x$。
由勾股定理得，$HC^{2} + CE^{2} = HE^{2}$，
即 $(10 - x)^{2} + 6^{2} = x^{2}$，解得 $x = 6.8$。