《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024保定模拟] 下列图形一定为矩形的是(C)

答案： C

2. 情境题 生活应用 李师傅要做一个矩形桌面,做好后量得一对长边长为80 cm,一对短边长为60 cm,对角线长为100 cm,则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”).

答案： 合格

3. [2023廊坊期末] 在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-1),点B(2,3),点C(2,-1),在平面直角坐标系中找一点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形为矩形,则BD的长为4,点D的坐标为(-2,3).

答案： 4；$(-2,3)$

4. 易错题 如图,A,B为5×5的正方形网格中的两个格点,称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形,在此图中以A,B为顶点的格点矩形共可以画出4个.

答案： 4

5. [2024恩施州模拟] 如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,AE⊥BD,BF⊥AC,垂足分别为E,F.若CF= DE,求证:四边形ABCD为矩形.

[证明]∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD = BC$，$AD// BC$，$DO = \frac{1}{2}BD$，$AO = \frac{1}{2}AC$。
∴∠BCF = ∠DAO。
在Rt△ADE与Rt△BCF中，$\begin{cases}AD = BC\\DE = CF\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)。
∴∠ADE = ∠BCF。
∴∠ADE = ∠DAO。
∴$DO = AO$。
∴$AC = BD$。
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形。

答案： [证明]
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD = BC$，$AD// BC$，$DO = \frac{1}{2}BD$，$AO = \frac{1}{2}AC$。
∴$∠BCF = ∠DAO$。
在$Rt△ADE$与$Rt△BCF$中，$\begin{cases}AD = BC\\DE = CF\end{cases}$
∴$Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)$。
∴$∠ADE = ∠BCF$。
∴$∠ADE = ∠DAO$。
∴$DO = AO$。
∴$AC = BD$。
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形。

6. 如图,四边形ABCD是菱形,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接EF,FG,GH,HE.求证:四边形EFGH是矩形.
[证明]连接AC，BD，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线。
∴EF// AC且$EF = \frac{1}{2}AC$。
同理可得，HG// AC且$HG = \frac{1}{2}AC$，EH// BD。
∴EF// HG且EF = HG。
∴四边形EFGH为平行四边形。
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。
∵EF// AC，∴EF⊥BD。
∵EH// BD，∴EH⊥EF。
∴$∠FEH = 90^{\circ}$。
∴四边形EFGH是矩形。

答案： [证明]连接AC，BD，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF为$△ABC$的中位线。
∴$EF// AC$且$EF = \frac{1}{2}AC$。
同理可得，$HG// AC$且$HG = \frac{1}{2}AC$，$EH// BD$。
∴$EF// HG$且$EF = HG$。
∴四边形EFGH为平行四边形。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$。
∵$EF// AC$，
∴$EF⊥BD$。
∵$EH// BD$，
∴$EH⊥EF$。
∴$∠FEH = 90^{\circ}$。
∴四边形EFGH是矩形。

7. 新视角·动点探究题 如图,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= 90°,AD= 10 cm,BC= 8 cm,点P从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,同时点M从点B出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t s,下列结论正确的是( )

A. 当t= 4时,四边形ABMP为矩形
B. 当t= 5时,四边形CDPM为平行四边形
C. 当CD= PM时,t= 4
D. 当CD= PM时,t= 4或6

答案：
D [点拨]根据题意，可得$DP = tcm$，$BM = tcm$。
∵$AD = 10cm$，$BC = 8cm$，
∴$AP = (10 - t)cm$，$CM = (8 - t)cm$。
当四边形ABMP为矩形时，$AP = BM$，
即$10 - t = t$，解得$t = 5$，故A不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，$DP = CM$，
即$8 - t = t$，解得$t = 4$，故B不正确；
当$CD = PM$时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，$DP = CM$，
即$8 - t = t$，解得$t = 4$。
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作$MG⊥AD$于点G，过点C作$CH⊥AD$于点H，如图所示。
则$∠MGP = ∠CHD = 90^{\circ}$。
易知$GM = HC$。

又
∵$CD = PM$，
∴$Rt△MGP≌Rt△CHD(HL)$。
∴$GP = HD = \frac{t - (8 - t)}{2}(cm)$。
∴$AG = AP + GP = [10 - t + \frac{t - (8 - t)}{2}]cm$。
又易知$BM = AG$，
∴$t = 10 - t + \frac{t - (8 - t)}{2}$，
解得$t = 6$。
综上可得，当$CD = PM$时，$t = 6$或$t = 4$，故C错误，D正确。

8. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,过点B作DE的垂线,交DE的延长线于点F.已知DE= 1,AD= 3,则四边形BCDF的面积为6.

答案： 6 [点拨]由题意可知$∠C = ∠CDF = ∠F = 90^{\circ}$，
∴四边形BCDF是矩形，
∴$BF = DC$，又
∵$AD = DC$，
∴$BF = AD$，易证$△ADE≌△BFE$，
∴$DE = EF = 1$，
∴$DF = DE + EF = 1 + 1 = 2$。又
∵$DC = AD = 3$，
∴四边形BCDF的面积为$DC\cdot DF = 3×2 = 6$。