《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. 方程$x^{2}= 4x$的根是(C)
A. $x= 4$
B. $x= 0$
C. $x_{1}= 0,x_{2}= 4$
D. $x_{1}= 0,x_{2}= 2$

答案： C

2. [2024常州模拟]方程$x(x-1)= x$的解是(D)
A. $x= 0$
B. $x= 2$
C. $x_{1}= 0,x_{2}= 1$
D. $x_{1}= 0,x_{2}= 2$

答案： D

3. 若$x^{2}-2px+q= 0$的两根分别是-3与5,则多项式$2x^{2}-4px+2q$可以分解为(C)
A. $(x+3)(x-5)$
B. $(x-3)(x+5)$
C. $2(x+3)(x-5)$
D. $2(x-3)(x+5)$

答案： C

4. 方程$(x-2)(x-4)= 0$的两个根是等腰三角形的底边长和腰长,则这个等腰三角形的底边长为(A)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 2或4

答案： A

5. 用因式分解法解方程$x^{2}+px-6= 0$,若将左边分解后有一个因式是$x+3$,则$p$的值是(B)
A. -1
B. 1
C. -5
D. 5

答案： B

6. 用因式分解法解方程$9= x^{2}-2x+1$.
(1)移项,得$9-(x^{2}-2x+1)= 0$;
(2)方程左边化为两个平方差,右边为零,得$3^{2}-(x-1)^{2}=0$;
(3)将方程左边分解成两个一次因式之积,得$(3-x+1)(3+x-1)=0$;
(4)解方程得$x_{1}= $4,$x_{2}= $-2.

答案：
(2)$3^{2}-(x-1)^{2}=0$
(3)$(3-x+1)(3+x-1)=0$
(4)4；-2

7. 解方程:
(1)$\frac {2}{3}x^{2}= x$;$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{3}{2}$
(2)$2x(x+3)-3(x+3)= 0$;$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-3$
(3)$(3x+2)^{2}-4x^{2}= 0$;$x_{1}=-\frac{2}{5}$，$x_{2}=-2$
(4)$(x+5)^{2}-2(x+5)+1= 0$.$x_{1}=x_{2}=-4$

答案： [解]
(1)移项,得$\frac{2}{3}x^{2}-x=0$，
因式分解,得$x(\frac{2}{3}x-1)=0$，
∴$x=0$或$\frac{2}{3}x-1=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
(2)因式分解,得$(2x-3)(x+3)=0$，
∴$2x-3=0$或$x+3=0$。
∴$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-3$。
(3)因式分解,得$(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0$，
∴$(5x+2)(x+2)=0$。
∴$5x+2=0$或$x+2=0$，
解得$x_{1}=-\frac{2}{5}$，$x_{2}=-2$。
(4)因式分解,得$(x+5-1)^{2}=0$，
∴$(x+4)^{2}=0$，
解得$x_{1}=x_{2}=-4$。

8. 若菱形$ABCD$的一条对角线长为8,边$CD的长是方程x^{2}-10x+24= 0$的一个根,则该菱形$ABCD$的周长为( )
A. 16
B. 24
C. 16或24
D. 48

答案：
B　[点拨]如图所示。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$。
$x^{2}-10x+24=0$，
因式分解,得$(x-4)(x-6)=0$，
解得$x=4$或$x=6$。
分两种情况：
①当$AB=AD=CD=4$时，$4+4=8$，不能构成三角形；
②当$AB=AD=CD=6$时，$6+6＞8$，能构成三角形。
∴菱形ABCD的周长$=4AB=24$。
故选B。

9. 若直角三角形的两边长分别是方程$x^{2}-7x+12= 0$的两根,则该直角三角形的面积是(D)
A. 6
B. 12
C. 12或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$
D. 6或$\frac {3\sqrt {7}}{2}$

答案： D　[点拨]
∵$x^{2}-7x+12=0$，
∴$x=3$或$x=4$。
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×3×4=6$；
②当长是4的边是斜边时，第三边的长是$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，该直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
故选D。

10. 若实数$k,b是一元二次方程(x+3)(x-1)= 0$的两个根,且$k\lt b$,则一次函数$y= kx+b$的图象不经过(C)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C　[点拨]
∵实数k，b是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根，且$k＜b$，
∴$k=-3$，$b=1$。
∴一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
故选C。