《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2023 达州期末] 关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+a-1= 0$有一个根为0,则a的值是(B)
A. ±1
B. 1
C. -1
D. 0

答案： B

2. 若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个根为-1,则下列等式成立的是(B)
A. $a+b+c= 1$
B. $a-b+c= 0$
C. $a+b+c= 0$
D. $a-b+c= 1$

答案： B

3. 新考法·表格信息法 观察下表,一元二次方程$x^{2}-x-1.1= 0$的解的范围是(C)
| x | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^{2}-x-1.1$ | -0.99 | -0.86 | -0.71 | -0.54 | -0.35 | -0.14 | 0.09 | 0.34 | 0.61 |
A. $1.4＜x＜1.5$
B. $1.5＜x＜1.6$
C. $1.6＜x＜1.7$
D. $1.7＜x＜1.8$

答案： C

4. 新考法·整体代入法 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1= 0$的一个解是x= 1,则代数式$2023-a-b$的值为(D)
A. -2022
B. 2022
C. 2023
D. 2024

答案： D

5. 完成下列表格,并回答问题:
(1)
| x | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| $2x^{2}-1$ | -1 | 1 | 7 |
由表可知方程$2x^{2}-1= 0$的解在0与1之间.
(2)
| x | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $2x^{2}-1$ | -0.5 | -0.28 | -0.02 | 0.28 | 0.62 |
由表可知方程$2x^{2}-1= 0$的解在0.7与0.8之间.
以此类推,求出方程$2x^{2}-1= 0$的近似解.(精确到0.01)
当$x=0.7$时，$2x^{2}-1=-0.02$，
当$x=0.71$时，$2x^{2}-1=0.0082$，
所以方程$2x^{2}-1=0$的近似解为0.71.

答案： 【解】
(1)0；1
(2)0.7；0.8
当$x=0.7$时，$2x^{2}-1=-0.02$，
当$x=0.71$时，$2x^{2}-1=0.0082$，
所以方程$2x^{2}-1=0$的近似解为0.71.

6. 新考法·拆项变形法 已知m为方程$x^{2}+3x-2022= 0$的根,那么$m^{3}+2m^{2}-2025m+2022$的值为(B)
A. -2022
B. 0
C. 2022
D. 4044

答案： B 【点拨】
∵m为方程$x^{2}+3x-2022=0$的根，
$\therefore m^{2}+3m-2022=0$.
$\therefore m^{2}+3m=2022$.
$\therefore$原式$=m^{3}+3m^{2}-m^{2}-3m-2022m+2022$
$=m(m^{2}+3m)-(m^{2}+3m)-2022m+2022$
$=2022m-2022-2022m+2022$
$=0$.
故选B.

7. 新考法·作差法 若$x_{0}是方程ax^{2}+2x+c= 0(a≠0)$的一个根,设$M= 1-ac,N= (ax_{0}+1)^{2}$,则M与N的大小关系为(B)
A. $M＞N$
B. $M= N$
C. $M＜N$
D. 不确定

答案： B 【点拨】
∵$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a≠0)$的一个根，
$\therefore ax_{0}^{2}+2x_{0}+c=0$，即$ax_{0}^{2}+2x_{0}=-c$.
$\therefore N-M=(ax_{0}+1)^{2}-(1-ac)$
$=a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+1-1+ac$
$=a(ax_{0}^{2}+2x_{0})+ac$
$=-ac+ac$
$=0$.
$\therefore M=N$. 故选B.

8. 新视角·结论开放题 若一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$(b,c为常数)的两根$x_{1},x_{2}满足-3＜x_{1}＜-1,1＜x_{2}＜3$,则符合条件的一个方程为$x^{2}-2=0$.

答案： $x^{2}-2=0$(答案不唯一)

9. [2023 娄底] 若m是方程$x^{2}-2x-1= 0$的根,则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=$6.

答案： 6 【点拨】
∵m是方程$x^{2}-2x-1=0$的根，
$\therefore m^{2}-2m-1=0$，即$m^{2}-1=2m$.
$\therefore m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m-\frac{1}{m})^{2}+2=(\frac{m^{2}-1}{m})^{2}+2=2^{2}+2=6$.

10. [2024 聊城模拟] 已知下面三个关于x的一元二次方程$ax^{2}+2bx+c= 1,bx^{2}+2cx+a= -3,cx^{2}+2ax+b= 2$恰好有一个相同的正实数根,则$a+b+c$的值为____0.

答案： 0 【点拨】设这个相同的正实数根为$x=t$，
把$x=t$分别代入$ax^{2}+2bx+c=1$，$bx^{2}+2cx+a=-3$，$cx^{2}+2ax+b=2$，得
$at^{2}+2bt+c=1$①，
$bt^{2}+2ct+a=-3$②，
$ct^{2}+2at+b=2$③，
①+②+③，得$at^{2}+bt^{2}+ct^{2}+2bt+2ct+2at+a+b+c=0$，
$t^{2}(a+b+c)+2t(a+b+c)+(a+b+c)=0$，
$(a+b+c)(t^{2}+2t+1)=0$，
$(a+b+c)(t+1)^{2}=0$.
$\because t＞0$，$\therefore (t+1)^{2}＞0$.
$\therefore a+b+c=0$.

11. 母题·教材P33做一做 如图,这是一张长8cm、宽6cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形,可制成一个底面积是$12cm^{2}$的无盖长方体纸盒.小明在做这道题时,设剪去的正方形边长为xcm,列出关于x的方程$(8-2x)(6-2x)= 12$,整理得$x^{2}-7x+9= 0$.
他想知道剪去的正方形边长到底是多少,下面是他的探索过程.
探索方程的解:
第一步:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^{2}-7x+9$ | 17 | 9 | 3 | -1 |
因此:1＜x＜2.
第二步:
| x | 1.5 | 1.6 | 1.7 | 1.8 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^{2}-7x+9$ | 0.75 | 0.36 | -0.01 | -0.36 |
因此:1.6＜x＜1.7.
(1)请你帮助小明完成表格中未完成的部分,并写出x的范围.
(2)通过以上探索,你能估计出x的值吗?
通过以上探索，估计x≈1.7（答案不唯一，在1.6到1.7之间的近似值均可）

答案：
(1)第一步表格依次填$3$，$-1$，$1$，$2$；第二步表格依次填$0.36$，$-0.01$，$1.6$，$1.7$。
(2)通过以上探索，估计$x\approx1.7$（答案不唯一，在$1.6$到$1.7$之间的近似值均可）。