《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

13. (12分)如图,点$B$,$C分别在\triangle ADE的边AD$,$AE$上,且$AC = 3$,$AB = 2.5$,$EC = 2$,$DB = 3.5$.求证：$\triangle ABC\backsim\triangle AED$.

[证明]∵AC = 3，AB = 2.5，EC = 2，DB = 3.5，
　　∴AE = 5，AD = 6.
　　∴$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{2.5}{5}$ = $\frac{1}{2}$.
　　∴$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{AB}{AE}$.
　　又∵∠A = ∠A，∴△ABC∽△AED.

答案： [证明]
∵AC = 3，AB = 2.5，EC = 2，DB = 3.5，
　
∴AE = 5，AD = 6.
　
∴$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{2.5}{5}$ = $\frac{1}{2}$.
　
∴$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{AB}{AE}$.
　　又
∵∠A = ∠A，
∴△ABC∽△AED.

14. (12分)[2023潍坊]如图,在$\triangle ABC$中,$CD平分\angle ACB$,$AE\perp CD$,垂足为点$E$,过点$E作EF// BC$,交$AC于点F$,$G为BC$的中点,连接$FG$.求证：$FG= \frac{1}{2}AB$.

[证明]延长AE交BC于点H.
　　∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，
　　∴∠ACE = ∠HCE，∠AEC = ∠HEC = 90°.
　　又∵CE = CE，
　　∴△ACE≌△HCE(ASA).
　　∴AE = EH = $\frac{1}{2}$AH.
　　∵EF//BC，∴∠AEF = ∠AHC，∠AFE = ∠ACH.
　　∴△AEF∽△AHC.
　　∴$\frac{AF}{AC}$ = $\frac{AE}{AH}$ = $\frac{1}{2}$.∴AC = 2AF.
　　∴F是AC的中点.
　　又∵G是BC的中点，∴FG是△ABC的中位线.
　　∴FG = $\frac{1}{2}$AB.

答案： [证明]延长AE交BC于点H.
　
∵CD平分∠ACB，AE⊥CD，
　
∴∠ACE = ∠HCE，∠AEC = ∠HEC = 90°.
　　又
∵CE = CE，
　
∴△ACE≌△HCE(ASA).
　
∴AE = EH = $\frac{1}{2}$AH.
　
∵EF//BC，
∴∠AEF = ∠AHC，∠AFE = ∠ACH.
　
∴△AEF∽△AHC.
　
∴$\frac{AF}{AC}$ = $\frac{AE}{AH}$ = $\frac{1}{2}$.
∴AC = 2AF.
　
∴F是AC的中点.
　　又
∵G是BC的中点，
∴FG是△ABC的中位线.
　
∴FG = $\frac{1}{2}$AB.

15. (12分)[2024云南大学附中月考]如图,在平行四边形$ABCD$中,连接对角线$AC$,延长$AB至点E$,使$BE = AB$,连接$DE$,分别交$BC$,$AC于点F$,$G$.
(1)求证：$BF = CF$；
(2)若$BC = 6$,$DG = 4$,求$FG$的长.

(1)[证明]∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴AD//BC，AD = BC.
　　∴∠EBF = ∠EAD.
　　又∵∠BEF = ∠AED，∴△EBF∽△EAD.
　　∴$\frac{BF}{AD}$ = $\frac{EB}{EA}$ = $\frac{1}{2}$.
　　∴BF = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC.
　　∴BF = CF.
(2)[解]由(1)知AD//BC，AD = BC = 6，
　∴∠FCG = ∠DAG.
　又∵∠FGC = ∠DGA，∴△FGC∽△DGA.
　∴$\frac{FG}{DG}$ = $\frac{FC}{AD}$.
　∵FC = $\frac{1}{2}$BC = 3，∴$\frac{FG}{4}$ = $\frac{3}{6}$，解得FG = 2.

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AD//BC，AD = BC.
　
∴∠EBF = ∠EAD.
　　又
∵∠BEF = ∠AED，
∴△EBF∽△EAD.
　
∴$\frac{BF}{AD}$ = $\frac{EB}{EA}$ = $\frac{1}{2}$.
　
∴BF = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC.
　
∴BF = CF.
(2)[解]由
(1)知AD//BC，AD = BC = 6，
∴∠FCG = ∠DAG.
　又
∵∠FGC = ∠DGA，
∴△FGC∽△DGA.
∴$\frac{FG}{DG}$ = $\frac{FC}{AD}$.
∵FC = $\frac{1}{2}$BC = 3，
∴$\frac{FG}{4}$ = $\frac{3}{6}$，解得FG = 2.

16. (12分)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 8$,$AD = 4$,点$E是DC$边上的任一点(不包括端点$D$,$C$),过点$A作AF\perp AE交CB的延长线于点F$,设$DE = a$.
(1)求$BF$的长(用含$a$的代数式表示)；
(2)连接$EF交AB于点G$,连接$GC$.当$GC// AE$时,求证：四边形$AGCE$是菱形.

答案：

(1)[解]
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠ADE = ∠ABC = ∠BAD = 90°.
　
∴∠ABF = 90° = ∠ADE，∠DAE + ∠BAE = 90°.
　
∵AF⊥AE，
∴∠BAF + ∠BAE = 90°.
　
∴∠DAE = ∠BAF.
　
∴△ADE∽△ABF.
　
∴$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{DE}{BF}$，即$\frac{4}{8}$ = $\frac{a}{BF}$，解得BF = 2a.
(2)[证明]
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴CD = AB = 8，BC = AD = 4，AG//CE，∠BCD = 90°.
　又
∵GC//AE，
∴四边形AGCE是平行四边形.
　
∴AG = CE = 8 - a.
　
∴BG = AB - AG = 8 - (8 - a) = a.
　在Rt△BGF中，$GF^{2}$ = $a^{2}$ + $(2a)^{2}$ = $5a^{2}$.
　在Rt△CEF中，$EF^{2}$ = $(2a + 4)^{2}$ + $(8 - a)^{2}$ = $5a^{2}$ + 80.
　在Rt△ADE中，$AE^{2}$ = $4^{2}$ + $a^{2}$ = 16 + $a^{2}$.
　如图，过点G作GM⊥AF于点M，
　则GM//AE，
　
∴易得△MGF∽△AEF.
∴$\frac{GM}{AE}$ = $\frac{GF}{EF}$.
　
∴$\frac{GM^{2}}{AE^{2}}$ = $\frac{GF^{2}}{EF^{2}}$，即$\frac{GM^{2}}{16 + a^{2}}$ = $\frac{5a^{2}}{5a^{2} + 80}$.
　
∴GM = a.
　
∴GM = BG.
　又
∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴FG是∠AFB的平分线.
　又
∵AE⊥AF，EC⊥FC，
∴EA = EC.
∴四边形AGCE是菱形.