《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

10. [2024汕头濠江区模拟] 某公司设计了一款工艺品,每件的成本是 $ 40 $ 元,为了合理定价,投放市场进行试销：据市场调查,销售单价是 $ 50 $ 元时,每天的销售量是 $ 100 $ 件,而销售单价每提高 $ 1 $ 元,每天就少售出 $ 2 $ 件,但要求销售单价不得超过 $ 65 $ 元。
(1)若销售单价为每件 $ 60 $ 元,求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利 $ 1350 $ 元,每件工艺品售价应为多少元？
(3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到 $ 2000 $ 元？请说明理由。

答案： 【解】
(1)依题意，得$(60 - 40)\times[100-(60 - 50)\times2]=1600$(元).
$\therefore$每天的销售利润为$1600$元.
(2)设每件工艺品售价为$x$元，则每天的销售量是$[100 - 2(x - 50)]$件，
依题意，得$(x - 40)[100 - 2(x - 50)]=1350$，
整理，得$x^{2}-140x + 4675 = 0$，
解得$x_{1}=55$，$x_{2}=85$(不符合题意，舍去).
$\therefore$每件工艺品售价应为$55$元.
(3)获利不能达到$2000$元，理由如下：
依题意，得$(x - 40)[100 - 2(x - 50)]=2000$，
整理，得$x^{2}-140x + 5000 = 0$.
$\because\Delta = 140^{2}-4\times5000=-400＜0$，
$\therefore$方程无实数解.
$\therefore$获利不能达到$2000$元.

11. [2023北京十八中模拟] 已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2ax + a^{2}= 3 $ 的一个根,求代数式 $ a(a - 1)+a^{2}+5a $ 的值。
【解】$a(a - 1)+a^{2}+5a=a^{2}-a + a^{2}+5a = 2a^{2}+4a$.
$\because x = 1$是关于$x$的方程$x^{2}+2ax + a^{2}=3$的一个根，
$\therefore1 + 2a + a^{2}=3$. $\therefore a^{2}+2a = 2$.
$\therefore$原式$=2(a^{2}+2a)=4$.

答案： 【解】$a(a - 1)+a^{2}+5a=a^{2}-a + a^{2}+5a = 2a^{2}+4a$.
$\because x = 1$是关于$x$的方程$x^{2}+2ax + a^{2}=3$的一个根，
$\therefore1 + 2a + a^{2}=3$. $\therefore a^{2}+2a = 2$.
$\therefore$原式$=2(a^{2}+2a)=4$.

12. 新考法 换元法 解方程： $ (2x + 1)^{2}+3(2x + 1)= -2 $。

答案： 【解】设$2x + 1 = y$，则原方程可化为$y^{2}+3y + 2 = 0$，
$\therefore(y + 1)(y + 2)=0$，解得$y=-1$或$y=-2$.
$\therefore2x + 1=-1$或$2x + 1=-2$，
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$.

13. 新视角 新定义题 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”,如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-x = 0 $ 与 $ x^{2}+3x + m - 1 = 0 $ 为“友好方程”,求 $ m $ 的值。1或-3

答案： 【解】解方程$x^{2}-x = 0$，得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$.
①若$x = 0$是两个方程相同的实数根，
将$x = 0$代入方程$x^{2}+3x + m - 1 = 0$，得$m - 1 = 0$，
$\therefore m = 1$.
此时原方程为$x^{2}+3x = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-3$，符合题意，
$\therefore m = 1$；
②若$x = 1$是两个方程相同的实数根，
将$x = 1$代入方程$x^{2}+3x + m - 1 = 0$，得$4 + m - 1 = 0$，
$\therefore m=-3$.
此时原方程为$x^{2}+3x - 4 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$，符合题意，
$\therefore m=-3$.
综上所述，$m$的值为$1$或$-3$.