《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

11. 欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程$x^{2}+ax= b^{2}$的方法,类似地可以用折纸的方法求方程$x^{2}+x-1= 0$的一个正根,如图,裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而$EF= EB$,类似地,在AB上折出点M使$AM= AF$,表示方程$x^{2}+x-1= 0$的一个正根的线段是(B)

A. 线段BM
B. 线段AM
C. 线段BE
D. 线段AE

答案： B 【点拨】设 $ AF=AM=a $，
则 $ BE=EF=\frac{1}{2} $，$ AE=a+\frac{1}{2} $。
$ \because $ 在 $ Rt\triangle ABE $ 中，$ AE^{2}=AB^{2}+BE^{2} $，
$ \therefore (a+\frac{1}{2})^{2}=1+(\frac{1}{2})^{2} $。
$ \therefore a^{2}+a-1=0 $。
$ \therefore AM $ 的长为 $ x^{2}+x-1=0 $ 的一个正根。
故选 B。

12. [2024 上海杨浦区模拟] 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$.
(1)如果方程有两个实数根,求m的取值范围；
(2)如果等腰三角形ABC的一条边长为7,其余两边的边长恰好是该方程的两个根,求m的值.

答案： 【解】
(1)$ \because $ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0 $ 有两个实数根，
$ \therefore \Delta=[-2(m+1)]^{2}-4(m^{2}+5)=8m-16\geq0 $，
解得 $ m\geq2 $。
$ \therefore m $ 的取值范围为 $ m\geq2 $。
(2)当 7 为底时，由题意得，$ \Delta=0 $，则 $ 8m-16=0 $，
解得 $ m=2 $，
此时一元二次方程为 $ x^{2}-6x+9=0 $，
解得 $ x_{1}=x_{2}=3 $。
$ \because 3+3＜7 $，$ \therefore $ 不符合三角形三边关系，舍去；
当 7 为腰时，将 $ x=7 $ 代入 $ x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0 $，
得 $ 49-14(m+1)+m^{2}+5=0 $，
解得 $ m=4 $ 或 $ m=10 $。
当 $ m=10 $ 时，一元二次方程为 $ x^{2}-22x+105=0 $，
解得 $ x_{1}=7 $，$ x_{2}=15 $。
$ \therefore $ 三角形的三边长为 7，7，15，$ 7+7＜15 $（舍去），
当 $ m=4 $ 时，一元二次方程为 $ x^{2}-10x+21=0 $，
解得 $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=7 $，
$ \therefore $ 三角形的三边长为 3，7，7，可以构成三角形，
$ \therefore m $ 的值为 4。

13. 如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如,一元二次方程$x^{2}+x= 0的两个根是x_{1}= 0$,$x_{2}= -1$,则方程$x^{2}+x= 0$是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”：
①$x^{2}-x-6= 0$；
②$2x^{2}-2\sqrt {3}x+1= 0$.
(2)已知关于x的方程$x^{2}-(m-1)x-m= 0$(m是常数)是“邻根方程”,求m的值；
(3)若关于x的方程$mx^{2}+nx+2= 0$(m,n是常数,$m＞0$)是“邻根方程”,令$t= n^{2}-4m^{2}$,试求t的最大值.
【解】(1)①解方程 $ x^{2}-x-6=0 $，得 $ x=3 $ 或 $ x=-2 $。
$ \because 3-(-2)=5 $，
$ \therefore x^{2}-x-6=0 $ 不是“邻根方程”。
②解方程 $ 2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0 $，得 $ x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} $ 或 $ x=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $。
$ \because \frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=1 $，
$ \therefore 2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0 $ 是“邻根方程”。
(2)由方程 $ x^{2}-(m-1)x-m=0 $，解得 $ x=m $ 或 $ x=-1 $，
$ \because $ 方程 $ x^{2}-(m-1)x-m=0 $（$ m $ 是常数）是“邻根方程”，
$ \therefore m-(-1)=1 $ 或 $ -1-m=1 $，
解得 $ m= $0或-2。
(3)解方程 $ mx^{2}+nx+2=0 $，得 $ x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-8m}}{2m} $。
$ \because $ 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}+nx+2=0 $（$ m $，$ n $ 是常数，$ m＞0 $）是“邻根方程”，
$ \therefore \frac{-n+\sqrt{n^{2}-8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^{2}-8m}}{2m}=1 $。
$ \therefore n^{2}=m^{2}+8m $。
$ \because t=n^{2}-4m^{2} $，
$ \therefore t=-3m^{2}+8m=-3(m-\frac{4}{3})^{2}+\frac{16}{3} $。
$ \therefore $ 当 $ m=\frac{4}{3} $ 时，$ t $ 有最大值$\frac{16}{3}$。

答案： 【解】
(1)①解方程 $ x^{2}-x-6=0 $，得 $ x=3 $ 或 $ x=-2 $。
$ \because 3-(-2)=5 $，
$ \therefore x^{2}-x-6=0 $ 不是“邻根方程”。
②解方程 $ 2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0 $，得 $ x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} $ 或 $ x=\frac{\sqrt{3}-1}{2} $。
$ \because \frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=1 $，
$ \therefore 2x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0 $ 是“邻根方程”。
(2)由方程 $ x^{2}-(m-1)x-m=0 $，解得 $ x=m $ 或 $ x=-1 $，
$ \because $ 方程 $ x^{2}-(m-1)x-m=0 $（$ m $ 是常数）是“邻根方程”，
$ \therefore m-(-1)=1 $ 或 $ -1-m=1 $，
解得 $ m=0 $ 或 $ m=-2 $。
(3)解方程 $ mx^{2}+nx+2=0 $，得 $ x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-8m}}{2m} $。
$ \because $ 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}+nx+2=0 $（$ m $，$ n $ 是常数，$ m＞0 $）是“邻根方程”，
$ \therefore \frac{-n+\sqrt{n^{2}-8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^{2}-8m}}{2m}=1 $。
$ \therefore n^{2}=m^{2}+8m $。
$ \because t=n^{2}-4m^{2} $，
$ \therefore t=-3m^{2}+8m=-3(m-\frac{4}{3})^{2}+\frac{16}{3} $。
$ \therefore $ 当 $ m=\frac{4}{3} $ 时，$ t $ 有最大值 $ \frac{16}{3} $。