《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

8. [2023遵义红花岗区一模] 如图,将边长为6cm的正方形纸片ABCD,剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形,再沿图中虚线折起,可以得到一个长方体盒子(A,B,C,D正好重合于上底面一点,且$AE= BF$),若所得到的长方体盒子的表面积为$11cm^{2}$,则线段$AE= $______0.5 cm.

答案： 0.5 cm 【点拨】设$AE=BF=x$cm,由题意可得,长方体盒子的底面为正方形,其边长为$\sqrt{2}x$cm,长方体盒子的高为$\frac{6-2x}{\sqrt{2}}$cm,根据长方体盒子的表面积为$11cm^{2}$列出方程,即可得出线段AE的长.

9. 母题·教材P45习题T2 2023·东营 如图,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈？
答:当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈.
(2)羊圈的面积能达到$650m^{2}$吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.
答:羊圈的面积不能达到$650m^{2}$.理由:由题意,得$x(72-2x)=650$,化简,得$x^{2}-36x+325=0$.$\because \Delta =(-36)^{2}-4×325=-4＜0$,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到$650m^{2}$.

答案： 【解】
(1)设矩形ABCD的边$AB=x$m,则边$BC=70-2x+2=72-2x$(m).
根据题意,得$x(72-2x)=640$,
化简,得$x^{2}-36x+320=0$,
解得$x_{1}=16,x_{2}=20$.
当$x=16$时,$72-2x=72-32=40$;
当$x=20$时,$72-2x=72-40=32$.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈.
(2)不能.
理由:由题意,得$x(72-2x)=650$,
化简,得$x^{2}-36x+325=0$.
$\because \Delta =(-36)^{2}-4×325=-4＜0$,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到$650m^{2}$.

10. 情境题 情景对话 要在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.

(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合,请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.

答案：
【解】
(1)不符合.理由如下:
设符合条件的小路宽度均为x m.
由题意,得$\frac{1}{2}×16×12=(16-2x)(12-2x)$,
解得$x_{1}=12$(不符合题意,舍去),$x_{2}=2$.
∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为2 m.
(2)答案不唯一,

如图①,取上边的中点作为三角形的顶点,下边的两个端点为三角形的另外两个顶点,此三角形的面积等于矩形面积的一半;
如图②,横竖两条小路,且小路在每一处的宽都相同,其小路的宽为4 m时,除去小路的面积,剩下的面积为矩形面积的一半.