《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

11. 对于任意实数$a,b$,定义$f(a,b)= a^{2}+5a-b$,如$f(2,3)= 2^{2}+5×2-3$,若$f(x,2)= 4$,则实数$x$的值是______-6或1.

答案： -6或1　[点拨]
∵$f(a,b)=a^{2}+5a-b$，
∴由$f(x,2)=4$得，$x^{2}+5x-2=4$。
即$x^{2}+5x-6=0$。
∴$(x-1)(x+6)=0$。
∴$x-1=0$或$x+6=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-6$。
∴实数x的值是-6或1。

12. [2024东莞模拟]类比因式分解法,写出一个以$x$为未知数,以-2和4为根的一元二次方程$x^{2}-2x-8=0$(答案不唯一)

答案： $x^{2}-2x-8=0$(答案不唯一)

13. 对于实数$a,b$,定义运算“◎”如下:$a◎b= (a+b)^{2}-(a-b)^{2}$.若$(m+2)◎(m-3)= 24$,则$m= $-3或4.

答案： -3或4　[点拨]
∵$(m+2)\odot(m-3)=24$，
∴$[(m+2)+(m-3)]^{2}-[(m+2)-(m-3)]^{2}=24$，
整理得$m^{2}-m-12=0$，
解得$m_{1}=-3$，$m_{2}=4$。

14. 请阅读下列材料:
解方程:$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$.
解法如下:
将$x^{2}-1$视为一个整体,然后设$x^{2}-1= y$,则$(x^{2}-1)^{2}= y^{2}$,
原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$,
解得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$.
①当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1$,解得$x= \pm \sqrt {2}$;
②当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4$,解得$x= \pm \sqrt {5}$.
综合①②,可得原方程的解为$x_{1}= \sqrt {2},x_{2}= -\sqrt {2},x_{3}= \sqrt {5},x_{4}= -\sqrt {5}$.
参照以上解法,解方程$x^{4}-x^{2}-6= 0$.
[解]设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$，
解得$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。
①当$y=3$时，$x^{2}=3$，解得$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$；
②当$y=-2$时，$x^{2}=-2$，此方程无实数根。
综合①②，可得原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$。

答案： [解]设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$，
解得$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。
①当$y=3$时，$x^{2}=3$，解得$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$；
②当$y=-2$时，$x^{2}=-2$，此方程无实数根。
综合①②，可得原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$。

15. 阅读下面的材料,解答问题.
材料:解含绝对值的方程:$x^{2}-3|x|-10= 0$.
解:分两种情况:
①当$x≥0$时,原方程化为$x^{2}-3x-10= 0$,解得$x_{1}= 5,x_{2}= -2$(舍去);
②当$x＜0$时,原方程化为$x^{2}+3x-10= 0$,解得$x_{3}= -5,x_{4}= 2$(舍去).
综上所述,原方程的解是$x_{1}= 5,x_{2}= -5$.
请参照上述方法解方程$x^{2}-|x+1|-1= 0$.
[解]当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，
原方程可化为$x^{2}-(x+1)-1=0$，
即$x^{2}-x-2=0$，
$(x-2)(x+1)=0$，
$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，
原方程可化为$x^{2}+(x+1)-1=0$，
即$x^{2}+x=0$，
$x(x+1)=0$，
$x=0$或$x+1=0$，
解得$x_{3}=0$(舍去)，$x_{4}=-1$(舍去)。
综上所述，原方程的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。

答案： [解]当$x+1≥0$，即$x≥-1$时，
原方程可化为$x^{2}-(x+1)-1=0$，
即$x^{2}-x-2=0$，
$(x-2)(x+1)=0$，
$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
当$x+1＜0$，即$x＜-1$时，
原方程可化为$x^{2}+(x+1)-1=0$，
即$x^{2}+x=0$，
$x(x+1)=0$，
$x=0$或$x+1=0$，
解得$x_{3}=0$(舍去)，$x_{4}=-1$(舍去)。
综上所述，原方程的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。