《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

1. [2024鹤山模拟]已知一元二次方程$x^{2}-3x+1= 0的两根分别为m,n$,则$m+n$的值是 (A)
A. 3
B. -3
C. 1
D. -1

答案： A

2. 母题·教材P51习题T3 2024·佛山南海区模拟 若$x= -1是一元二次方程x^{2}-5x+c= 0$的一个根,则这个方程的另一个根是 (D)
A. -4
B. 2
C. 3
D. 6

答案： D

3. [2023乐山]若关于$x的一元二次方程x^{2}-8x+m= 0的两根为x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则$m$的值为 (C)
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： C

4. [2023宜昌]已知$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}-3x+1= 0$的两根,则代数式$\frac {x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}x_{2}}$的值为1.

答案： 1

5. 已知一元二次方程$x^{2}-3x+k= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,若$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}= 1$,则实数$k=$-5.

答案： -5

6. [2023南充]已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2m-1)x-3m^{2}+m= 0$.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有实数根;
证明：$\Delta =[-(2m - 1)]^{2} - 4×1×(-3m^{2} + m)= 4m^{2} - 4m + 1 + 12m^{2} - 4m= 16m^{2} - 8m + 1=(4m - 1)^{2} \geq 0$，∴方程总有实数根.
(2)若$x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根,且$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}= -\frac {5}{2}$,求$m$的值.
解：由题意知，$x_{1} + x_{2} = 2m - 1$，$x_{1}x_{2} = -3m^{2} + m$.∵$\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}} - 2 = -\frac{5}{2}$，∴$\frac{(2m - 1)^{2}}{-3m^{2} + m} - 2 = -\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2} - 7m + 2 = 0$，解得$m = 1$或$m = \frac{2}{5}$.经检验$m = 1$或$m = \frac{2}{5}$是原分式方程的解.∴$m$的值为1或$\frac{2}{5}$.

答案：
(1)【证明】$\Delta =[-(2m - 1)]^{2} - 4×1×(-3m^{2} + m)$
$= 4m^{2} - 4m + 1 + 12m^{2} - 4m$
$= 16m^{2} - 8m + 1$
$= (4m - 1)^{2} \geq 0$，
∴方程总有实数根.
(2)【解】由题意知，$x_{1} + x_{2} = 2m - 1$，$x_{1}x_{2} = -3m^{2} + m$.
∵$\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}} - 2 = -\frac{5}{2}$，
∴$\frac{(2m - 1)^{2}}{-3m^{2} + m} - 2 = -\frac{5}{2}$，整理得$5m^{2} - 7m + 2 = 0$，
解得$m = 1$或$m = \frac{2}{5}$.
经检验$m = 1$或$m = \frac{2}{5}$是原分式方程的解.
∴$m$的值为1或$\frac{2}{5}$.

7. 新视角 新定义题 定义运算:$a*b= a(1-b)$,若$a,b是方程x^{2}-x+\frac {1}{4}m= 0(m＜0)$的两根,则$b*b-a*a$的值为 (B)
A. -1
B. 0
C. 1
D. ±1

答案： B

8. 新考法·变形代入法 2023·宜宾一模 已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-3x-4= 0$的两个实数根,则$x_{1}^{2}-4x_{1}-x_{2}+2x_{1}x_{2}$的值为 (B)
A. -10
B. -7
C. -5
D. 3

答案： B

9. [2024绵阳模拟]若关于$x的方程2x^{2}-(k-1)x+k+1= 0的两个实数根满足关系式|x_{1}-x_{2}|= 1$,则$k$的值为 (C)
A. 11
B. -1
C. 11或-1
D. 11或-1或1

答案： C

10. 易错题 已知关于$x的方程4x^{2}-(k+5)x-k-9= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= -1,0＜x_{2}＜1$,则$k$的取值范围是(C)
A. -18＜k＜-10
B. 0＜k＜8
C. -9＜k＜-5
D. -18＜k＜-10且k≠-13

答案： C 【点拨】
∵方程$4x^{2} - (k + 5)x - k - 9 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = [-(k + 5)]^{2} - 4×4×(-k - 9) = (k + 13)^{2} ＞ 0$，
解得$k \neq -13$.
∵$x_{1}x_{2} = \frac{-k - 9}{4}$，$x_{1} = -1$，
∴$x_{2} = \frac{k + 9}{4}$.
又
∵$0 ＜ x_{2} ＜ 1$，
∴$0 ＜ \frac{k + 9}{4} ＜ 1$，
解得$-9 ＜ k ＜ -5$.
综上，$k$的取值范围为$-9 ＜ k ＜ -5$.
故选 C.

11. 若关于$x的方程x^{2}-2x+m-1= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$,则$x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+2x_{1}^{2}-4x_{1}$的最大值是 (B)
A. 0
B. 0.5
C. 4.5
D. 5

答案： B 【点拨】
∵关于$x$的方程$x^{2} - 2x + m - 1 = 0$有两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$，
∴$\Delta = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m \geq 0$.
∴$m \leq 2$.
∵$x_{1} + x_{2} = 2$，$x_{1}x_{2} = m - 1$，
∴$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 4 - 2(m - 1) = 6 - 2m$.
又
∵$x_{1}^{2} - 2x_{1} = -m + 1$，
∴$x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 2x_{1}^{2} - 4x_{1} = (m - 1)(6 - 2m) + 2(-m + 1) = -2m^{2} + 6m - 4 = -2(m - \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2}$.
∵$m \leq 2$，
∴当$m = \frac{3}{2}$时，$x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 2x_{1}^{2} - 4x_{1}$有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$，即 0.5.
故选 B.

12. 新趋势 学科内综合 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2k+1)x+4k-3= 0$,当$Rt\triangle ABC的斜边长a为\sqrt {31}$,且两条直角边的长$b和c$恰好是这个方程的两个根时,$\triangle ABC$的周长为____$7 + \sqrt{31}$.

答案： $7 + \sqrt{31}$ 【点拨】根据根与系数的关系，得$b + c = 2k + 1$，$bc = 4k - 3$.
∵$b$，$c$为直角边的长，斜边长$a$为$\sqrt{31}$，
∴$b^{2} + c^{2} = (\sqrt{31})^{2}$.
∴$(b + c)^{2} - 2bc = 31$.
∴$(2k + 1)^{2} - 2(4k - 3) = 31$，
整理得$k^{2} - k - 6 = 0$，
即$(k - 3)(k + 2) = 0$，
∴$k - 3 = 0$或$k + 2 = 0$，
解得$k_{1} = 3$，$k_{2} = -2$（舍去）.
∴$b + c = 2×3 + 1 = 7$.
∴$\triangle ABC$的周长为$7 + \sqrt{31}$.