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1. (新考法 阅读类比法) 阅读与思考: 下面是小宇同学写的一篇数学小论文, 请认真阅读并完成相应的任务:
“十字架模型”的拓展研究
有这样一道习题: 如图①, 四边形 ABCD 是一个正方形花园, E, F 是它的两个门, 要修建两条路 BE 和 AF, 且使得 $ BE \perp AF $, 那么这两条路等长吗? 为什么?
对于上面的问题, 我是这样思考的:
∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ $ AB = AD $, $ \angle BAE = \angle ADF = 90^\circ $.
又 ∵ $ BE \perp AF $, ∴ $ \angle BEA + \angle DAF = \angle DAF + \angle AFD = 90^\circ $.
∴ $ \angle BEA = \angle AFD $. (依据 *)
∴ $ \text{Rt} \triangle ABE \cong \text{Rt} \triangle DAF $. ∴ $ BE = AF $.
有趣的是, 对于两个端点分别在正方形 ABCD 一组对边上的线段, 若这样的两条线段互相垂直, 这两条线段是否仍然相等呢? 对此我们可以做进一步探究:
如图②, 在正方形 ABCD 中, 若点 M, N, P, Q 分别是 AB, CD, BC, AD 上的任意一点, 且 $ MN \perp PQ $, 垂足为 O, 则 MN 仍然与 PQ 相等. 证明如下:
过点 M 作 $ ME \perp CD $, 垂足为 E, 过点 P 作 $ PF \perp AD $, 垂足为 F,
则容易证明四边形 AMED 和四边形 ABPF 均为矩形,
∴ $ ME = AD $, $ PF = AB $. ∵ $ AB = AD $, ∴ $ ME = PF $.
在四边形 QOND 中, ∵ $ \angle NOQ = \angle D = 90^\circ $,
任务: 根据上面小论文的点拨过程, 解决下列问题:
(1) 画横线部分的“依据 * ”是 ______;
(2) 在小论文的点拨过程中, 主要运用的数学思想有 ______; (从下面选项中选出两项)
A. 转化思想
B. 方程思想
C. 由特殊到一般的思想
D. 函数思想
(3) 请根据小论文提供的思路, 补全图②剩余的证明过程;
(4) 如图③, 将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠, 使点 B 落在 AD 边的中点 E 处, 点 C 落在点 F 处, 折痕为 MN, 则线段 MN 的长为 ______.
“十字架模型”的拓展研究
有这样一道习题: 如图①, 四边形 ABCD 是一个正方形花园, E, F 是它的两个门, 要修建两条路 BE 和 AF, 且使得 $ BE \perp AF $, 那么这两条路等长吗? 为什么?
对于上面的问题, 我是这样思考的:
∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ $ AB = AD $, $ \angle BAE = \angle ADF = 90^\circ $.
又 ∵ $ BE \perp AF $, ∴ $ \angle BEA + \angle DAF = \angle DAF + \angle AFD = 90^\circ $.
∴ $ \angle BEA = \angle AFD $. (依据 *)
∴ $ \text{Rt} \triangle ABE \cong \text{Rt} \triangle DAF $. ∴ $ BE = AF $.
有趣的是, 对于两个端点分别在正方形 ABCD 一组对边上的线段, 若这样的两条线段互相垂直, 这两条线段是否仍然相等呢? 对此我们可以做进一步探究:
如图②, 在正方形 ABCD 中, 若点 M, N, P, Q 分别是 AB, CD, BC, AD 上的任意一点, 且 $ MN \perp PQ $, 垂足为 O, 则 MN 仍然与 PQ 相等. 证明如下:
过点 M 作 $ ME \perp CD $, 垂足为 E, 过点 P 作 $ PF \perp AD $, 垂足为 F,
则容易证明四边形 AMED 和四边形 ABPF 均为矩形,
∴ $ ME = AD $, $ PF = AB $. ∵ $ AB = AD $, ∴ $ ME = PF $.
在四边形 QOND 中, ∵ $ \angle NOQ = \angle D = 90^\circ $,
任务: 根据上面小论文的点拨过程, 解决下列问题:
(1) 画横线部分的“依据 * ”是 ______;
(2) 在小论文的点拨过程中, 主要运用的数学思想有 ______; (从下面选项中选出两项)
A. 转化思想
B. 方程思想
C. 由特殊到一般的思想
D. 函数思想
(3) 请根据小论文提供的思路, 补全图②剩余的证明过程;
(4) 如图③, 将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠, 使点 B 落在 AD 边的中点 E 处, 点 C 落在点 F 处, 折痕为 MN, 则线段 MN 的长为 ______.
答案：
(1)在等式两边同时减去同一个式子，等式仍成立
(2)AC
(3)[证明]过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F，则容易证明四边形AMED和四边形ABPF均为矩形，
∴ME=AD,PF=AB.
∵AB=AD,
∴ME=PF.
在四边形QOND中，
∵∠NOQ=∠D=90°,∠NOQ+∠D+∠OQD+∠OND=360°,
∴∠OQD+∠OND=180°.
又
∵∠FQP+∠OQD=180°,
∴∠FQP=∠OND.
又
∵∠MEN=∠PFQ=90°,ME=PF,
∴△MNE≌△PQF(AAS).
∴MN=PQ.
(4)2√5 [点拨]如图,作AT//MN交CD于点T,连接BE.
由折叠得点E与点B关于直线MN对称,
∴MN⊥BE.
又
∵AT//MN,
∴AT⊥BE.
∴易得AT=BE.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=4,AB//CD,∠BAE=90°.
∵点E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.
∴BE= $\sqrt{AB²+AE²}$= $\sqrt{4²+2²}$=2√5.
∴AT=2√5.
∵AM//NT,AT//MN.
∴四边形AMNT是平行四边形.
∴MN=AT=2√5.
(1)在等式两边同时减去同一个式子，等式仍成立
(2)AC
(3)[证明]过点M作ME⊥CD,垂足为E,过点P作PF⊥AD,垂足为F，则容易证明四边形AMED和四边形ABPF均为矩形，
∴ME=AD,PF=AB.
∵AB=AD,
∴ME=PF.
在四边形QOND中，
∵∠NOQ=∠D=90°,∠NOQ+∠D+∠OQD+∠OND=360°,
∴∠OQD+∠OND=180°.
又
∵∠FQP+∠OQD=180°,
∴∠FQP=∠OND.
又
∵∠MEN=∠PFQ=90°,ME=PF,
∴△MNE≌△PQF(AAS).
∴MN=PQ.
(4)2√5 [点拨]如图,作AT//MN交CD于点T,连接BE.
由折叠得点E与点B关于直线MN对称,
∴MN⊥BE.
又
∵AT//MN,
∴AT⊥BE.
∴易得AT=BE.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=4,AB//CD,∠BAE=90°.
∵点E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.
∴BE= $\sqrt{AB²+AE²}$= $\sqrt{4²+2²}$=2√5.
∴AT=2√5.
∵AM//NT,AT//MN.
∴四边形AMNT是平行四边形.
∴MN=AT=2√5.
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