《2025年综合应用创新题典中点九年级数学上册北师大版》

7. 如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB= 8,AD= DE= 10,则BF的长为2$\sqrt{5}$.

答案： 2$\sqrt{5}$　[点拨]
∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=DE=10,
∴∠ABC=∠C=90°,CD=AB=8,BC=AD=10.
∴CE=$\sqrt{DE² - CD²}$=$\sqrt{10² - 8²}$=6.
∴BE=BC - CE=10 - 6=4.
∴AE=$\sqrt{AB² + BE²}$=$\sqrt{8² + 4²}$=4$\sqrt{5}$.
∵∠ABE=90°,点F是AE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$.

8. 如图,四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,∠BAD= 45°,连接AC,BD.M是AC的中点,连接BM,DM.若△BMD的面积为32,则AC的长为______16.

答案： 16　[点拨]
∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,
∴BM=DM=AM=$\frac{1}{2}$AC.
∴∠BAM=∠ABM,∠DAM=∠ADM.
∵∠BMC=∠BAM+∠ABM,∠DMC=∠DAM+∠ADM,∠BAD=45°,
∴∠BMD=2∠BAD=90°.
∴S△BMD=$\frac{1}{2}$BM·DM=$\frac{1}{2}$BM²=32.
∵BM＞0,
∴BM=8.
∴AC=2BM=16.

9. [2024东莞模拟]如图,E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE= BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值是( )

A. $2\sqrt{2}$
B. 2
C. $2\sqrt{3}$
D. $\frac{8}{3}$

答案：
A　[点拨]如图,连接BP,设点C到BE的距离为h,
　则S△BCE=S△BCP+S△BEP,
　即$\frac{1}{2}$BE·h=$\frac{1}{2}$BC·PQ+$\frac{1}{2}$BE·PR,
∵BE=BC,
∴h=PQ+PR,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴BC=CD=4,∠BCD=90°,
∴BD=$\sqrt{4² + 4²}$=4$\sqrt{2}$.
∴h=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$.
∴PQ+PR的值是2$\sqrt{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

10. 新考向传统文化《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“蜨”为“蛱”,同“蝶”),它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只,共十三只(图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图,其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形),已知某人位于点P处,点P与点A关于直线DQ对称,连接CP,DP.若∠ADQ= 24°,则∠DCP= ______度.

21

答案： 21　　[点拨]
∵△CBD≌△ABD,且都为等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形,
　
∴∠CDA=90°,CD=AD.
　
∵点P与点A关于直线DQ对称,∠ADQ=24°,
　
∴∠PDQ=∠ADQ=24°,AD=DP,
　
∴CD=DP、∠ADP=48°.
　
∴∠CDP=138°.
　
∴∠DCP=∠DPC=$\frac{180° - ∠CDP}{2}$=21°.

11. 新视角·动点探究题2023·南京秦淮区期末如图,已知四边形ABCD为正方形,AB= $3\sqrt{2}$,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由.

(1)证明：作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,则∠DNE=∠CNE=∠FME=90°.
　　易知∠BCD=90°,∴四边形EMCN是矩形,
　　∴∠MEN=90°.
　　易知∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF.
　　∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
　　∴∠ACB=∠ACD.
　　又∵EM⊥BC,EN⊥CD,
　　∴EM=EN.
　　在△DEN和△FEM中,
　　$\begin{cases}∠DNE=∠FME,\\EN=EM,\\∠DEN=∠FEM,\end{cases}$
　　∴△DEN≌△FEM(ASA).
　　∴EF=DE.
又∵四边形DEFG是矩形,
　　∴矩形DEFG是正方形.
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由.CE+CG的值是定值，定值为6.∵四边形DEFG和四边形ABCD都为正方形，∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°.∴∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,∴∠CDG=∠ADE;在△ADE和△CDG中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADE=∠CDG,\\DE=DG,\end{cases}$∴△ADE≌△CDG(SAS).∴AE=CG.∴CE+CG=CE+AE=AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=6，是定值.

答案：
(1)[证明]作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,则∠DNE=∠CNE=∠FME=90°.
　　易知∠BCD=90°,
∴四边形EMCN是矩形,
　
∴∠MEN=90°.
　　易知∠DEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF.
　
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
　
∴∠ACB=∠ACD.
　　又
∵EM⊥BC,EN⊥CD,
　
∴EM=EN.
　　在△DEN和△FEM中,
　　$\begin{cases}∠DNE=∠FME,\\EN=EM,\\∠DEN=∠FEM,\end{cases}$
　
∴△DEN≌△FEM(ASA).
　
∴EF=DE.
又
∵四边形DEFG是矩形,
　
∴矩形DEFG是正方形.
(2)[解]CE+CG的值是定值，定值为6.
　
∵四边形DEFG和四边形ABCD都为正方形，
　
∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°.
　
∴∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,
　
∴∠CDG=∠ADE;
　　在△ADE和△CDG中,
　　$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADE=∠CDG,\\DE=DG,\end{cases}$
　
∴△ADE≌△CDG(SAS).
　
∴AE=CG.
　
∴CE+CG=CE+AE=AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=6,是定值.

12. 如图,矩形ABCD中,已知AB= 3,BC= 9,将矩形沿EF翻折,使点C与点A重合,点D落在点D'处,则EF= ______.

答案：
$\sqrt{10}$　[点拨]如图,过点E作EG⊥AD交于G,则易得AG=BE,AB=EG=3.
　　　　　　　　　
　　由折叠可得∠D'=∠D=90°,DF=D'F,AD'=CD,AE =EC;
　　设AF的长为x.
　
∵易知AD=BC=9,AB=CD=3,
∴D'F=DF=9−x,AD'=3.
　
∴在Rt△AD'F中,x²=9+(9−x)²,解得x=5.
　　即AF=5,
　　设EC=AE=y,则BE=BC−EC=9−y.
　
∴在Rt△ABE中,y²=9+(9−y)²,解得y=5,
　　即AE=EC=5.
∴BE=4.
　
∴AG=4.
∴GF=1.
　
∴在Rt△EFG中,EF=$\sqrt{10}$

13. [2023河南]矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且AN= AB= 1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为______.

答案：
2或1+$\sqrt{2}$　[点拨]当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况:
　　①如图①,当∠MND=90°时,则MN⊥AD,
　
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠A=90°,
　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴MN//AB.
　
∵M为对角线BD的中点，
　
∴N为AD的中点.
　
∴AN=DN.
∵AN=1,
∴AD=2AN=2.
②如图②,当∠NMD=90°时,则MN⊥BD,连接BN.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM;
　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN垂直平分BD.
∴BN=DN.
∵∠A=90°,AB=AN=1,
∴BN=DN=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$
∴AD=AN+DN=1+$\sqrt{2}$
综上所述,AD的长为2或1+$\sqrt{2}$